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DEUXIÈME PARTIE.

En effet, soit a = -,> , a' étant > i ; il vient a n = or a u’ o' a' n

pouvant être plus grand que toute quantité donnée, a n est parsuite plus petit que toute quantité donnée.

N. B. — On s’appuie sur ce théorème dans l’étude des pro-gressions par quotient, pour conclure que la somme des termesde cette progression croît avec n, en tendant vers une limitée,quand la raison est plus petite que l’unité; c’est ce que montrela formule

g__ a _ aq n

~~ i — q~ i — q'

On voit que limite de S =

-> quand n~ .

XV

Les racines successives d’un nombre a> i sont de plus enplus petites.

En effet, soient

f—. tt-t-p._

y a = r et j/ a — r' ;

on a par définition

r n — a et r' n+ = a,

d’où

= j'în- J rp

ou

r " — r ln . r

ou enfin

fn—f/n (j _|_ (*).

donc on a

r n ■> fin QU f ^ fl.

Ces mêmes racines tendent vers l’unité, en décroissant quandl’indice tend vers l’infini.

En effet, il a été prouvé qu’on peut satisfaire à l’inégalité

(i+È) n >a;

donc on peut satisfaire à l’inégalité

v/oT— i < fc,

qui découle de la précédente.

(*) fc désignant une quantité aussi petite que l’on voudra , 1 + fc repré-sente une quantité plus grande que l’unité, telle que r'*.