EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS.

181

XVI

Les racines successives d’un nombre a < i sont de plus enplus grandes.

En effet, soient

on a, par définition

r n = a et r l "+f’=a,

d’où

rn = r >».-p, on r’-r'> r'', ou enfin r n =zr'* {i—k)-,

donc on a

r n <r /n ou r<r'.

Ces mêmes racines tendent vers l’unité, en croissant, quandl’indice tend vers l’infini.

En effet, il a été prouvé qu’on peut satisfaire à l’inégalité(i — k) n <a, donc on peut satisfaire à l’inégalité

i —y a < k,

qui découle de la précédente.

XVII

Une limite mathématique étant une grandeur fixe dont unegrandeur variable approche continuellement sans jamais l’at-teindre, il importe de graver par des exemples, dans l’espritdu lecteur, l’idée importante qui s’attache à ce mot limite.

L’idée de limite se présente en arithmétique dans l’extractiondes racines. Ainsi, quand nous évaluons approximativement\[56 par défaut et par excès, cet exemple a la plus grande ana-logie avec celui que nous offre le calcul des périmètres despolygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle donné.

En effet, \[56 est la limite commune vers laquelle tendentindéfiniment les nombres 7, 7,4, 7,48 qui représentent