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DEUXIÈME PARTIE.

cette racine par défaut, et ceux-ci: 8, 7,5, 7,49..., qui lareprésentent par excès; de sorte que nous avons7 < \/56 <8,

7,4 <\/56 <7,5,

7,48 < y/56 < 7,49,

On voit ainsi que les termes de la première suite se rap-prochent de V56, en croissant, comme les périmètres inscrits serapprochent de la circonférence, et que les termes de la secondesuite tendent vers \[ 56 , en décroissant, comme les périmètrescirconscrits tendent vers la circonférence. On peut donc écrire:

\[56 — R±K,

R désignant la vraie valeur de cette racine, valeur qui n’existepas (*) et K une variable ayant zéro pour limite.

Telle est l’idée qu’il faut se faire de la quantité \j 56 , quantitédite incommensurable.

On ne dit pas d’une droite déterminée de longueur qu’elleest incommensurable, puisqu’on peut toujours la mesurerexactement en prenant pour unité une partie aliquote de cetteligne ; mais le rapport de deux grandeurs de même espèce estincommensurable quand on ne peut pas les exprimer toutesdeux exactement à l’aide de la même unité, ou, ce qui revientau même, quand elles 11’ont pas de commune mesure; telssont en géométrie :

Le rapport \j2 de la diagonale d’un carré à son côté ou celuidu côté du carré au rayon du cercle circonscrit ;

Le rapport ^3 du côté du triangle équilatéral inscrit au

rayon, et i (\j 5 ■ —1) rapport du côté du décagone régulier aurayon du cercle circonscrit.

Tel est encore le rapport tt ou 3,141092 ... de la circonfé-rence au diamètre, rapport dont on peut approcher autant quel’on veut, mais qu’on ne peut atteindre : voilà pourquoi leproblème de la quadrature du cercle est insoluble.

En effet, ce problème consiste à évaluer exactement la sur-

(*) On démontre qu’un nombre entier qui n’a pas pour racine un nombreentier ne peut avoir pour racine un nombre fractionnaire.