EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS.

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duquel ce point arrivera en B,on trouve l’infini, résultat évidentpuisque le nombre des distances successivement parcouruesest lui-même infini. Mais quel est l'espace total ainsi parcouru?

C’est la somme des chemins successifs

a a a

—H 7 + o + —

24»

Or, la formule limite S = —-— donne ici* 1 — q

a

O

limite de S =-= a ;

1 7

1-

2

donc on n’arrivera qu’au bout d’un temps infini à l’extrémitéB de la droite dont la longueur est a; ce qui revient à direqu’on n’y arrivera jamais.

3 ° Soit A l’aire d’un quadrilatère convexe dans lequel nousinscrivons un parallélogramme en joignant les milieux desquatre côtés. Si nous inscrivons de même un second parallélo-gramme dans le premier, puis un troisième dans le second, etc.,on peut se demander quelle est la somme des aires de cette in-finité de parallélogrammes successivement inscrits.

On voit d’abord que les aires dont il s’agit sont respectivementexprimées par les termes successifs de la prog ression géométrique„ A. AA. A.

2'4 * 8 ’ 16 ’

donc la somme cherchée ou limite de S = A, aire du quadrila-tère proposé.

N. B. — On peut remarquer une certaine analogie entre lezéro proprement dit et le point mathématique, ce zéro de lagéométrie qui serait ici le dernier parallélogramme inscrit,s’il y en avait un qui fût le dernier.

En effet, les termes de notre progression géométrique ten-dent vers zéro, en même temps que les parallélogrammes dontces termes sont les mesures respectives tendent vers le pointmathématique.

4° a étant plus petit que l’unité, la sommed —1— 2 u 2 -f- 3 w 1 — f— 4 d** —{—....

a-t-elle une limite? Quelle est cette limite, si elle existe?