EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS. 197

de signe du second terme +3 du diviseur par le dernierterme 4- 252 du quotient. Ce reste est — 766.

Le susdit reste étant, comme on l’a prouvé, la valeur numé-rique du polynôme 2 æ 3 — 4# 4 4- 6 a; 2 — 10, pour x = — 3, onconclut de là cette règle pour trouver la valeur numériqued’un polynôme entier quelconque pour une valeur donnéede x :

Pour trouver la valeur numérique du polynôme mx 3 4- nx*4 -px+-q, dans lequel m,n,p,q sont des nombres connus,pour x = a par exemple, multipliez m par a, ajoutez n à ceproduit, multipliez la somme ainsi formée par a, ajoutez p à cenouveau produit, multipliez la nouvelle somme par a, ajoutezq à ce dernier produit, et cette dernière somme sera la valeurnumérique cherchée (*).

On peut d’ailleurs mettre cette règle en évidence, abstrac-tion faite de ce qui a été dit sur la division, en la démontrantdirectement comme il suit :

Soient

(1)

ma 4- n =s„

(2)

s t a-hp = s„

(3)

s 1 a-j-q = S.

Multipliez les deux membres de(i) par a’, ceux de (2) par a,ajoutez (3) avec les deux égalités résultantes, et vous aurez :ma 3 - 1- na 2 4- s, a' 4- pa-f- s. 2 a4- q = s, a? 4- s, a 4- S,ou

ma? 4- na' 2 4- pa 4- q = S,

c. q. f. d.

XXVI

Un nombre entier N étant écrit dans un système de numéra-tion dont la base est b; quel est le caractère de divisibilité dece nombre par d?

La question présente deux cas, le nombre d pouvant êtreplus petit que la base b ou plus grand que cette base.i° Supposons d<b, et posons d=b — S'; il vient:

N=a„a 5 a,a 3 a, a,,

O On tient compte, comme il a été dit, des lacunes que peut avoir lepolynôme proposé.