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ou

DEUXIÈME PARTIE.

N= a,4-a à 6 + a 3 b*-+-a k b 3 -ha :i b i -\~a s 6 5 ;ou bien encore :

^ ajp— o)+a 3 (6 2 —o 2 )+a t (^ 3 —S 3 )+a 3 (6 4 — S'')-ha s (¥ —S 5 )

-f-a,4-a 2 S -+- a 3 â 2 4- a 4 S 3 + a 3 o 4 -f a 6 S 5

comme on le -voit en additionnant verticalement les deuxlignes horizontales.

Cela posé, la première de ces lignes représente la somme deplusieurs multiples de & — £ ou de d ; et si nous désignons parN, la somme comprise dans la deuxième ligne horizontale,nous aurons :

N = multiple de d-i-N,;

c’est-à-dire que le reste de la division de N par d est égal aureste de la division de N t par d.

Remarque I. — Pour trouver le reste de la division de N tpar d on cherche la valeur numérique de ce polynôme (*) pourla valeur de &, en élaguant des sommes partielles s 4 , s,...

les multiples de d qui se présentent, car le reste de la divisionde N, par d, c’est N t diminué du plus grand multiple de dqui s’y trouve contenu.

Remarque II. — Dans le système décimal à= i, et il vient :

N,= ex, —1— —(— a 3 ~ f- o 4 -t- ci a —t— c/ G 5

donc pour qu’un nombre soit divisible par 9 il suffit que lasomme de ses chiffres le soit, — théorème connu.

En général, le reste de la division de N w par b — 1 estégal au reste de la division de la somme de ses chiffres par 6—1.Par exemple, dans le système duodécimal, un nombre est divi-sible par onze, quand la somme de ses chiffres est un multiplede onze.

Ex. : N =3456ySg(J est-il divisible par 7?

Ici :

N 3 -f- Ujj S + —}— o 4 a 3 —j— ci 3 o- 4— a^o — u, ;

(*) Suivant la méthode abrégée que nous avons exposée.