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DEUXIÈME PARTIE.

Le maximum du produit a-b.c .... k ne peut exister que sitous ses facteurs sont égaux.

En effet, de \Jab < a + inégalité connue, on conclut:

ab <

a + ê\ 2

et par suite

a.b.c .... k <

d’où il suit que le prod uit a. b. c .... k, dont deux facteurs a et bsont supposés inégaux, n’est pas un maximum entre tous lesproduits de m facteurs qui satisfont à la condition (i).

Il faut donc, pour que le maximum existe, que les m facteurs

/S\ m

soient égaux. Ce maximum est ( — j •Diverses conséquences de ce principe:

i° De

a.b.c.... k{*) <(!)”

on tire

\/ a.b.c. ... k < — •

V m

2 ° De

ü H— b H— c .... -f- k == S

on déduit

a 2 -|-6 2 +c 2 +.... -H k 1 =S 2 — 2 (etc.) {ab + ac+bi■ + cd+....);

or la somme entre parenthèses est maximum quand toutes sesparties le sont, c’est-à-dire lorsque a = b, a — c, 6 = c,.... ;d’où a — b = c = d— etc.

Donc la somme a 2 + 6 2 + c- +.... + k 1 est minimum quandles m quantités a, b, c, .... k dont la somme est S sont égalesentre elles.

3” De tous lestrianglesayantle même périmètre 2 p,le triangleéquilatéral est celui qui a la plus grande surface.

Cela résulte de la formule

\Jp. \l{p — xj (p — y) (p — z).

(*) On suppose ici que les m facteurs a, b, c,...k, dont la somme est S,ne sont pas tous égaux