EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS.

2 11

XXXV

Quel est, entre tous les parallélipipèdes rectangles ayant unemême surface totale S, celui dont le volume est maximum?

Si nous désignons par x, y, z les trois dimensions d'un pa-rallélipipède rectangle ayant S pour surface totale, nous avons

i{xy-\-xz-{-yz) = S,

d’où il suit que xy+xz-\~yz est une somme constante; maisJe volume qu’il faut rendre maximum est xyz, ce qui revientà rendre maximum x 2 ifz', ou bien xyxxzxyz ; or les trois

3

facteurs de ce produit formant la somme constante - > la con-dition de maximum que nous cherchons est xy — xz—yz , oux—y—z : donc le cube est de tous les parallélipipèdes rec-tangles ayant la même surface totale celui qui a le plus grandvolume.

XXXVI

Les prix des diamants étant proportionnels aux carrés deleurs poids, lorsqu’un diamant se brise en deux fragments, ilen résulte une perte; car le carré du poids total est plus grandque la somme des carrés des poids des deux fragments, envertu de l’inégalité (a-\-b) t > a l -i-b 2 .

Gela étant, on peut se demander dans quel cas la perte estmaximum.

Soient p le poids du diamant, k le prix de l’unité de poids, etx le poids d’un des deux fragments du diamant brisé; lepoids de l’autre fragment est évidemment p — x.

L’expression de la perte est d’après ce qui précède :

kp 2 — [kx 2 -\-k{p — x) 2 \,ou après toutes réductions

2 kpx —2 kx 2 .

La quantité qu’il s’agit de rendre maximum est par con-séquent

2 k(px — x v j ou simplement px — x' 1 ;