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DEUXIÈME PARTIE.

or pour que y soit entier, x étant lui-même entier, il faut etil suffit que x — 2 soit un diviseur de 4; de sorte que l’on a

x — 2 = 1 ou x — 2 = 2 , ou enfin x — 2 = 4 ,

d’où

x—'i, x — 4, et x = 6,quantités auxquelles correspondent

y — 6 , y — 4 et y — 3,

donc on peut couvrir un plan en assemblant trois à trois, soitsix triangles équilatéraux ( 1 ), soit quatre carrés ( 2 ), soit enfintrois hexagones réguliers (3) {fig. 38).

Fig. 38.

/U)\/

N. B. — On peut vérifier qu’il est impossible de couvrir uneportion de plan avec d’autres polygones réguliers que ceux-là,en constatant que l’angle de tout autre polygone régulier n’estpas une partie aliquole de quatre angles droits.

Mais on peut assembler autour d’un point 0, sans qu’il enrésulte un vide, des polygones réguliers d’espèces différentes.

Par exemple, si l’on construit des carrés sur les côtés d’unhexagone régulier {fig. 39), on obtient des triangles équilaté-

Fig. 39.

raux en joignant les sommets des carrés consécutifs, ce quidonne des systèmes de figures, composés d’un hexagone régu-lier, de deux carrés et d’un triangle équilatéral ; or la sommedes angles consécutifs situés autour de chaque sommet del’hexagone régulier valant 4 dr , il n’existe pas de vide dans sonplan, autour de ses sommets.