EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS. 223

entière de l’équation (i) ou de la proposée. Celle-ci a donc uneinfinité de solutions entières qui sont :

x = 2, y — o;x = 2 , y= 1 ;x = 2, y = 2 ;x = 2 , y — 3;etc., etc....

3° Trouver deux tractions ayant respectivement 7 et 11 pour

dénominateurs et pour somme 2 ^ 2 .

77

La question revient à résoudre en nombres entiers positifsl’équation :

x y _ 23 o

7 + " — 77"’

ou, ce qui revient aü même, l’équation

(1) nx-i-yy= 2'do.

Cette équation donne :

280 —ïix 0 6 — Ax

y — -— = 82 — x H-—•

7 7

,*% n •. b — Ax ,, , 2 — 3 m

( ) Soit —~— — m d ou x = 1 — m +

soit

7

2 —3m~ 4 ~ ''

n d’où m :

2 — n~ 3 ~’

soit

2 — n3 =P

d’où n = 2 — 3p,

il vient en remontant de la dernière égalité à la première :m = Ap — 2 , x=5 — 7 P, y=25+xip.

Cela posé, x et y devant être entiers et positifs , il faut que7P ne surpasse pas 5, ce qui n’a lieu que pour p = o, et danscette hypothèse

x = 5, y— 25;

o

donc - et — sont les fractions cherchées.7 11

(*) m, », p désignent des nombres entiers positifs.