EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS.

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L

Théorème analogue à celui du carré de l’hypoténuse. — Dansun tétraèdre rectangle (*) le carré du nombre qui exprime l'airede la face opposée au trièdre trirectangle vaut la somme descarrés des trois nombres qui expriment les aires des trois autresfaces du tétraèdre ( fig . 45).

Fig. 4b.

A

Pour le démontrer, menons DE perpendiculaire sur BC etla droite AE (**) dans le tétraèdre ABCD rectangle en D ; nousavons :

(1) 2 ABC = BC X AE(2ADB = BDxAD

( 2 ) aADC = DC X AD(aBDCrzBCxDE.

Or si nous élevons au carré les deux membres de l’égalité(i), ce qui donne

4(ABC) 2 —- (bD*+ DC '') (lD 2 + DË*)ou

4(ABC) 2 =BD 2 ■ AD 2 +DC 2 -AüVBD 2 - DË 2 +DC 2 . DE*,il vient, en ayant égard aux égalités ( 2 ) élevées au carré :

âbc 2 = âdb 2 + âdc 2 + bdc 2

c. q. f. d.

(*) On nomme ainsi un tétraèdre dont trois faces sont des trianglesrectangles.

(**) 11 faut penser ici au théorème des trois perpendiculaires.