EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS.
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C, et d la distance du centre (* *) des moyennes distances à l’axexy.
Si l’on conçoit C décomposé en m éléments infiniment petitsc, et si l’on nomme z, z', z ",... les distances des milieux deces éléments à l’axe xy, ces éléments pouvant être considéréscomme rectilignes, chacun d’eux décrit Taire d’un tronc decône (**) et nous avons :
S = C . 2 KZ -h C . 271 z' -h c . 27rs" + ..
OU
S — C . 277 -f- Z 1 -f- Z rr -i— ...),
d’où
’z -+- z' 4- z" 4-
WÎC.2TC
donc
S == C . 277 d
c. q. f. d.
Pour démontrer la seconde partie du théorème énoncé,soient A Taire de la figure, V le volume engendré par la ré-volution de A, et d la distance du centre des moyennes dis-tances à Taxe xy.
ABCDE sur un axe quelconque xy , puis sur le même axe des perpendicu-lairesde tous les sommets d’un second polygone A'B’C'D'E'obtenu enjoignantles milieuxdes côtés du premier; puis des perpendiculaires des milieux descôtés de ce second polygone, ces points étant les sommets d’un troisième,etc.,etc. Ces différentes sommes de perpendiculaires sent égales, en vertu decette propriété : la droite qui joint les milieux des deux côtés non parallèlesd’un trapèze vaut la demi-somme des côtés parallèles. Par suite, le pointauquel on arrive par la pensée en continuant cette construction indéfinimentpouvant être considéré comme un pentagone dont les cinq sommets seconfondent en un point O, la perpendiculaire menée sur l’axe xy de ce pointnommé centre des moyennes distances est la moyenne arithmétique descinq premières perpendiculaires.
(*) Pour obtenir le centre des moyennes distances d’un polygone, on tracedeux axes quelconques extérieurs à cette figure; on cherche les moyennesarithmétiques des deux sommes de perpendiculaires relatives à ces axes,puison mène à ces mêmes axes deux parallèles respectivement distantes de deuxlongueurs égales aux deux moyennes. L’intersection de ces parallèles est lepoint cherché.
(**) Sauf l’élément qui est parallèle à xy et ceux qui peuvent aboutir àcet axe; mais dans ces cas particuliers la forme de l’expression de la sur-face engendrée ne change pas.
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