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DEUXIEME PARTIE.

sonner sur des exemples, et, en pareille matière, les plus sim-ples sont les meilleurs.

i° Le nombre des diagonales d’un polygone étant 14, quelest le nombre de ses côtés?

Le nombre des diagonales d’un polygone de n côtés étant

n(n — 3 )

l’équation du problème est

n(n — 3 )

14, équation

2 2

du deuxième degré dont les racines sont 7 et —4-

La racine positive satisfait à la question, puisqu’un polygonede 7 côtés a effectivement 14 diagonales; mais que signifie laréponse —4? H est clair que ce ne peut être une solution duproblème, puisque celui-ci n’a évidemment qu’une solution;et nous ne croyons pas que cette réponse de l’algèbre puisseêtre interprétée raisonnablement. En effet, le nombre des dia-gonales n’est pas arbitraire; il dépend du nombre des côtés dupolygone que l’on considère; or la formule qui donne 14 pourn=7 donne 20 pour n = 8; donc il n’existe pas de polygonedont le nombre des diagonales soit compris entre 14 et 20.

Ainsi, non-seulement le problème dont il s’agit n’a qu’unesolution; il faut encore, pour qu’il en ait une, que l’équationdu second degré dont il dépend ait une racine positive etentière.

Cette remarque s’applique, entre autres questions, aux deuxsuivantes :

240 francs doivent être payés en parties égales par un certainnombre de personnes; 4 de ces personnes ne payent pas, cha-cune des autres paye 3 francs de plus : quel est le nombre despersonnes qui devraient payer?

L’équation du problème étant :

240 _240

x -

X

+ 3 , d’où x — i±yi

la solution est 20 et la racine négative —16 n’a ici aucun sens.

En second lieu, supposons qu’on demande le nombre destermes d’une progression arithmétique dont on connaît lasomme des termes, le premier terme et la raison.

Si nous éliminons le dernier terme l entre les deux formules

l = a + r(n — 1) et s = (cH-i)->