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EXERCICES ET PROBLÈMES DIVERS. 261

rn 2 — [r — 2 a)n — 2 s = o;

or, s’il résulte de l’inspection de cette équation que ses racinessont réelles, cela ne suffit pas pour que le problème soit pos-sible, l’inconnue devant être, par la nature même de la ques-tion, non-seulement, réelle, mais encore positive et. entière.

En général, quand les valeurs positives de l’inconnue nerépondent pas à la question, c’est que l’une des conditions duproblème ne peut être exprimée par l’algèbre. Ainsi, dans laquestion précédente, n doit être entier, et l’algèbre ne peutqu’opérer sur les données qui lui sont imposées pour en tirerles conséquences légitimes.

Nous avons vu, à propos de l’analyse indéterminée, com-ment l’algèbre exprime que les inconnues doivent être en-tières, quand les données d’un problème ne sont pas des nom-bres, mais des conditions auxquelles il faut satisfaire.

Supposons qu’on demande deux nombres entiers consécu-tifs, dont la différence des carrés soit égale à un nombre en-tier n.

L’équation du problème est æ 2 — (x —i) 2 =n,

On voit par là que la question est possible quand n est impairet qu’elle est impossible quand n est pair.

Ainsi une valeur, même positive, ne satisfait pas à l’énoncéd’un problème quand une condition de ce problème est denature à 11 e pas pouvoir être exprimée par l’algèbre; maiscette science fait connaître dans quel cas la condition dont ils’agit est remplie'.

Quant aux valeurs iiégatives données par l’algèbre, elles ré-pondent quelquefois à la question, telle qu’on l’a énoncée.

Supposons, par exemple, qu’on demande un nombre telqu’en le retranchant de 5 il reste 8.

Au point de vue de l’arithmétique cette question est impos-sible, mais elle est des plus faciles au point de vue algébrique.En effet, l’équation du problème est 5 — a: = 8, d’où x =— 3;et nous avons effectivement