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DEUXIEME PARTIE.

11 est clair que 16 répond à la question; mais 9 semble n’y pasrépondre, quand on ne songe pas à sa racine négative qui est— 3. Le fait est que 9 — (—3) = 12.

Ainsi la question admet deux solutions.

La quantité négative considérée en elle-même échappe àtoute définition. Cela tient sans doute, suivant d’Alembert, àce que cette idée est plus simple que toute définition qu’on enpeut donner. «Il serait à souhaiter, dit-il, que dans les traitésélémentaires on s’appliquât à éclairer la théorie mathéma-tique des quantités négatives, ou du moins qu’on ne les pré-sentât pas de manière à laisser dans l’esprit des commençantsdes notions fausses. »

D’abord, il est clair qu’il n’y a rien de plus petit que rien;il n’est donc pas permis de considérer les quantités négativescomme étant plus petites que zéro, et il est facile de prouverque cette notion est fausse.

Voici comment d’Alembert la réfute :

«Soit, dit-il, la proportion — 1 ; 1 : : 1 ; — 1.

«Si la notion dont il s’agit était exacte, c’est-à-dire si — 1était moindre que zéro, —1 serait à plus forte raison moin-dre que 1; or le premier terme de la proportion étant infé-rieur au second, le troisième serait inférieur au quatrième.On aurait donc — 1 < 1 d’une part, et 1 <—-1 d’autre part;ce qui est contradictoire. »

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On arrive au même but en remarquant que — ne serait pasle symbole de l’infini, si les quantités négatives étaient plus

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petites que zéro, attendu que —- serait plus grand que — ; le

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symbole de l’infini serait véritablement - _ •

D’ailleurs, ce qui prouve qu’une quantité négative n’est pasplus petite que zéro, c’est qu’il n’est pas permis de la né-gliger par rapport aux quantités positives qu’elle accom-pagne, tandis qu’il est permis de négliger zéro dans les mêmescirconstances.

Enfin, dans la géométrie, les lignes négatives ne diffèrentdes positives que par leur situation à l’égard d’autres lignes;et c’est ce qu’on exprime, par exemple, en écrivant :