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Abseissenaxe xox^ — 1, durch die Ordioaten yo und yi, sowie
durch die Gleichung der Gurve ab : y — ^ gegeben
ist, so haben wir, wenn vier vertikale Streifen angenommen
1
werden, deren jedesmalige Breite h = wird, herzu-stellen :
l
,/rqbä ■ d ‘ = T
(yo + yo -! ■ 4 ( 2/1 yo) + 2y 2 )*)
und zu diesem Zwecke bestimmen wir die Grössen derfünf Ordinalen yo, 2/i, 2/i> 2/3 u. 2/2 wie folgt:
1
Vo
y«
l+*0*
1
1+a;i*
1,00
0,50
»1
1
l + *t*
2/3 =
1
1 +x 3 2
0,94117653
0,64
V2
1
0
= —;-— 0,80 somit ist:
i+x 2 2
dx = [1+0,5 f 4(0,94117653 + 0,64) + 2X 0,8]
4 d
= 0,78539218.
Dieses bei der geringen Anzahl von Vertikalslreifen(nur 4 im Ganzen) schon bis auf die drille Dezimalstellegenaue Resultat, dessen Genauigkeit viele praktische An-sprüche überlrifl't, hat bei dem gewählten einfachen Bei-spiele verhällnissmässig schon ziemlich viel Zeit und Müheerfordert; noch mühsamer und mit noch weit mehr Zeit-aufwand geht aber die Arbeit von Stallen, wenn man esmit complicirteren Begrenzungen zu thun hat und ge-zwungen wird, die gegebene Figur in eine grössere Anzahlvon Verticalstreifen zu zerlegen. — Ist endlich die Glei-chung der begrenzenden Curve schwer aufzustellen, oderist die Curve eine ihre Richtung ganz ungesetzmässig än-dernde Linie, so wird man mit noch mehr Lust zu einemInstrumente greifen, welches die mühsame Rechnung um-gehen hilft und welches das Resultat in viel kürzerer Zeitund mit einer Genauigkeit gibt, deren Grenze nach Ver-suchen und Beobachtungen von Fachmännern bis zu 1 : 4000reicht.
Nach dieser allgemeinen Betrachtung wollen wir nunzu den ältesten Bestrebungen, welche auf dem Gebiete dermechanischen Planimetrie gemacht wurden, übergehen,wobei wir uns jedoch möglichst kurz fassen werden.
§ 2.
Die ältesten plani m et r is c hen Bestrebungen.
Diese ältesten Planimeterconstructionen suchen denBedürfnissen der Flächenberechnung besonders in zweiRichtungen zu genügen:
1) Ein Theil dieser Apparate beschränkt sich nur aufdie Flächeninhaltsbestimmung von Dreiecken oder
*) Wir wissen allerdings in diesem Falle dar Besultat schon imVoraus, denn es ist:
1
dx = arc. lg( 1) — arc.tg(o)
3,14159265 . . .4
= 0.78787316 . . .
Vierecken, oder von Figuren, welche sich in dieseElemente zerlegen lassen ; hieher gehören :
a) die Planimeter von Harkort, Posener und Adler,und
b) die Planimeter von Wagner, Schmidt, Horsky,Zobel und Colberg;
2) der andere Theil dieser Apparate basirt auf einemSchätzungs-Verfahren, und befasst sich sonach mitFiguren jeglicher Begrenzung; hieher gehören:a) die Planimetertafeln oder Schätzquadrate,ft) der Haar- oder Fadenplanimeter von Olden-dorp und
c) der Planimeter von Westfeld .
Die nun folgend skizzirte Schilderung der sub 1 und 2benannten Apparate ist zum Theil mit Zuhilfenahme der«Abhandlung über die Planimeter etc.» von Professor Dr.G. M. Bauernfeind, welche im Kunst- und Gewerheblatt,herausgegeben von dem polytechnischen Verein für dasKönigreich Baiern, 1853, enthalten ist, und besonders ab-gedruckt wurde: München , 1853. bei Job. Palm, sowie desWerkes von Ing. Trunk in Eisenach «über Planimeter»,Halle, 1865, hergestellt.
ad. 1.
a) Die Planimeter von Harkort, Posener und Adler.
Di ese beruhen darauf, dass sie die zu der Berechnungvon Dreiecken und Vierecken nöthigen Stücke, wie Grund-linie und Höhe, geben, deren Muitiplication man dann nochauszuführen hat und sich hiebei der Produktentafel bedient.Harkort hat seinen Apparat in einer ßrochüre : «Der Uni-versalplanimeter», Köln , 1824, beschrieben ; die in Oester reich bei der Katastralverinessung angewendeten Apparatevon Posener und Adler sind im zweiten Bande von «Le-inockh’s Lehrbuch der praktischen Geometrie», S. 58—69,ausführlich abgehandelt.
ft) Die Planimeter von Wagner, Schmidt, Horsky,Zobel und Colberg.
Dieselben lassen die bei den vorerwähnten Apparatennoch auszuführende Muitiplication umgehen. Hr. ProfessorBauernfeind*) erläutert diese Instrumente auf folgendeWeise :
«Die meisten Planimeter beruhen darauf, dass sie denFlächeninhalt eines Dreiecks durch das Mass einer zurGrundlinie des Dreiecks senkrecht stehenden Linie angeben,welche das Instrument selbst beschreibt. Wir wollen dieseGattung von Flächenmessern an zwei Beispielen erläutern.
Ist abc (Taf. 6. Fig. 3) irgend ein ebenes Dreieck, cddie Verlängerung von ac, und errichtet man in ft und eSenkrechte auf ab, so entstehen die beiden ähnlichen Drei-ecke ace und adb, in welchen sich :
ae : ec = ab : bd
verhält, woraus ae . bd = ec . ab folgt. Da aber ec . abgleich dem doppelten Inhalte des Dreiecks abc, so ist dereinfache Inhalt dieses Dreiecks auch gleich — ae . bd: unddieses Produkt stellt die Fläche aller Dreiecke von der
*) Bauernfeind, die Planimeter von Ernst, Wetli und Hausen,pag. 3. ff., München , 1853, Joh. Palm.