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Grundlinie ab und der Höhe ee vor. Es ist somit derPunkt e, in welchem man die Höhe sich aufgetragen denkt,auf der Linie ab ganz beliebig zu wählen. Man kann ihmdessbalb auch ein für allemal einen bestimmten unver-änderlichen Abstand von a anweisen und dadurch den

Factor— ae conslant machen. Ist aber dieser Factor un-2

veränderlich, so ist der Flächeninhalt des Dreiecks abc derSenkrechten bd proportional, und es wird diese Senkrechtedie Dreiecksfläche geben, wenn man sie mit einem Mass-

stabe misst, welcher sich zu dem der Figur wie-^-aezu 1

verhält. Auf dieser Betrachtung beruht der Planimeterdes Professor G. Wagner, welcher von dem Erfinder imJahre 182t in einer bei Jäger in Frankfurt a. M. erschie-nenen Abhandlung «Heber den Gebrauch und die Einrich-tung des vor Kurzem erfundenen Planimeters» abgebildetund beschrieben wurde, und von dem wir nur noch an-führen wollen, dass das Instrument sich an die Grundliniedes auszumessenden Dreiecks mit einem scharfbezeich-neten Punkte a anschliesst, in der Entfernung ae die Höhedes Dreiecks aufträgt, über dem Endpunkt c der Höhe vona aus eine Diagonale legt und einen in oben angegebenerWeise getheillen Massslab enthält, der sich senkrecht zurGrundlinie bis an deren Endpunkt b forlbevvegen lässt,woselbst er die Länge bd und somit auch die Fläche desDreiecks anzeigt.»

«Eine der vorigen ähnliche Betrachtung liegt der Ein-richtung des Planimeters von Professor G. G. Schmidtzu Grunde, wie aus der «Zugabe zu dessen Anfangsgründender Mathematik», Tbl. I.. hervorgeht. Bezeichnet nämlichb die Grundlinie und h die Höhe irgend eines Dreiecks,

so ist dessen Inhalt = bh , und haben b' und h' für

ein zweites, dem ersten gleiches Dreieck dieselbe Bedeu-tung, so ist:

-i- fe'/i' = ~ bh, woraus

h‘ = r— folgt.

b'

Macht man b‘ — der doppelten Längeneinheit, durch welcheb, h und h‘ gemessen werden, so wird

h' = ±bh

d. h. die Senkrechte h 1 dem Inhalte des Dreiecks von derGrundlinie 6 und der Höhe h gleich. Um die Höhe h 1 zumessen, denke man sich einen Winkel asm (Taf. 6. Fig. 4)in seinem Scheitel s beweglich und auf einem Schenkeldie Grösse b' = se — 2 aufgetragen. Diesen Winkel legeman an die Grundlinie ac des zu messenden Dreiecks aedso, dass der Endpunkt c der Länge b' mit dem Fusspunkte der von der Spitze d ausgehenden Höhe de zusammen-fällt und drehe hierauf den beweglichen Schenkel sm, biser die Spitze d des Dreiecks berührt. Nun schiebe manden Scheitel des festgestellten Winkels asm von s nach c,so wird cf der sm parallel und af stellt die Grösse h' undfolglich auch den Inhalt des Dreiecks aed dar. Denn essind nach diesem Aufbau der Figur die Dreiecke aef undesd ähnlich, und es verhält sich folglich.:

af : ac — de : esoder : af : b — h : 2

woraus: af —~bh=h‘ folgt, was zu beweisen

war. Hieraus ergiebt sich, dass das Instrument nur auseinem auf dem Schenkel se senkrecht verschiebbaren undentsprechend getheilten Massstabe zu bestehen braucht,um die Grösse h' bestimmen zu können.

Ein sinnreich zusammengesetzter, zur Gattung dervorhergehenden gehöriger Planimeter ist der von FranzHorsky, welcher im Jahre 1840 in der Zeitschrift desösterreichischen Ingenieur-Vereins beschrieben wurde.Dieser Apparat gibt, wie jene von Wagner und Schmidt,nur die Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken, undes wird das Verfahren zur Bestimmung dieser Inhalte oftsehr zeitraubend und mühsam, namentlich dann, wenn dieauszumessende Figur eine gewisse Grösse überschreitetoder die ihre Fläche bestimmenden Factoren in keinemfür das Instrument geeigneten Verhältnisse stehen. Ausdiesem Grunde hat auch dieser Planimeter nur wenig An-wendung gefunden. Wir übergehen ihn daher unter Hin-weisung auf dessen Abbildung und Beschreibung in dergenannten Zeitschrift S. 57 bis 60.»

Ganz ähnlich wie diese hier erläuterten Instrumentesind die von Zobel*) und Colberg**) bcschaflen. Wirerwähnen nur etwas über die von Colberg schon im Jahre1820 im polnischen Forst-Journale «Sylvan» veröffentlichteIdee. Colberg zerlegt wieder die zu messende Figur inlauter Dreiecke, deren Inhalte er unter Anwendung einesHalbirungszirkels, nach dem Satze, dass das halbe Quadratder mittleren geometrischen Proportionallinie zwischen derGrundlinie und der Höhe eines Dreiecks, dem Inhalte des-selben gleich ist, für jede gefundene, mittlere Proportio-nale gleich nach Morgen, Quadratruthen und Quadratfussenauf einem entsprechend getheilten, metallenen Trans-versalmassstab, welchen er Planimeter nennt, abgreift.Colberg fühlte aber schon das Bedürfniss, nicht die Flächen-inhalte der einzelnen Dreiecke, sondern gleich den Inhaltder ganzen Figur zu erhallen und verfährt dabei nach fol-gender Angabe: Man setzt (Taf. 6. Fig. 5) die gefundenenmittleren Proportional-Linien des ersten und zweiten Drei-eckes in ac und ab rechtwinklig zusammen, diellvpolhe-nuse bc ist dann die mittlere Proportional-Linie zwischender Grundlinie und Höhe eines Dreiecks, dessen Inhaltgleich dem der beiden ersten Dreiecke zusammengenommenist. Setzt man nun ee, gleich der mittleren Proportional-Linie des dritten Dreiecks rechtwinklig an bc, so erhältman eb, welche Länge auf dem Planimeter die Summe derFlächeninhalte der drei ersten Dreiecke anzeigt. Fährt manin dieser Weise fort, so gibt endlich gd die Länge, welcheden Inhalt der ganzen Figur auf dem Planimeter ergibt.— Diese Zusammensetzung von Linien zu mehreren recht-

*) Beschreibung: einer Flächen-Berechnungs-und Theilungsmaschinevon J. (4. Zobel, München bei Lindauer, 1815 .

**) Anweisung den Inhalt ebener Flächen ohne Rechnung genauzu finden und die Theilung der Figuren zu erleichtern, vermittelst einesneu erfundenen Instrumentes, des Planimeters, zum Gebrauch fürFeldmesser, von Julius Colberg, aus dem polnischen Forst-Journale„Sylvan“ übersetzt. Berlin , bei Oehmigke, 1825.