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Methode der kleinsten Quadrate.
§ io.
8 Yp = 8' d Yp = a b Yp = V w Yp = w ' etc.,
so kann man in allen folgenden Gleichungen die Gewichte weg-lassen, gerade wie wenn sie alle gleich wären, wenn man zugleichconsequent 8' a V ic an die Stelle von dabw treten lässt.
Wenn nahezu alle Gewichte gleich sind, und nur eines oderwenige den 2 oder 3faehen Werth der übrigen haben, so kannman die diesen entsprechenden Bedingungsgleichungen (4 1 bzw2 oder 3fach anschreiben, und mit den vermehrten Gleichungenweiterrechnen, indem man ihnen allen gleiches Gewicht beilegt.Nur der Werth fi Gl (16) und damit auch etc. werden dadurchein wenig anders erhalten werden, als bei dem gewöhnlichenVerfahren; jedoch wird die Aenderung zum Vortheil der neuenRechnung ausfallen.
§ 11 . Zusammenstellung der Resultate des vorigen §. nebstRechmungsproben.
Wir werden der Kürze wegen hier die Gewichte aus den For-meln weglassen, müssen also annehmen, dass wenn die Gewichtenicht alle gleich sind, unter 8 abw nicht die Werthe der Gl (4),sondern die am Ende des vorigen §. mit 8’ a V w' bezeichnetenGrössen verstanden sind. Wenn man diese Annahme nicht machenwill, so muss man in jedem Klammercoefficienten p als Faktorzusetzen, also z. B. [pbw.Y] statt [bw. 1] schreiben.
Wenn zur Bestimmung von 2 Unbekannten xy <m, Gleichungenvon der Form (1) § 10 vorliegen, in welchen die Werthe S durchunmittelbare Beobachtung gefunden wurden, so bildet man mitHülfe von Näherungswerthen !F n und Differenziirung die Coef-ficienten abw der Gl (4). Wenn die Gl (1) an sich schon linearsind, so ist die Einführung von Näherungswerthen streng genom-men nicht nöthig, sie ist aber fast immer räthlich, weil dadurcherreicht wird, dass die ganze Rechnung sich in kleinen Zahlenbewegt.
Nach der numerischen Berechnung von abw bildet man zumZweck von Proberechnungta noch die Summen s = a -+- b -+- w,und stellt dann folgende Tabelle zusammen:
a, b l w l s ta 2 &2 w 2 s 3
Um bm Wm Sm
Die Rechnung der Quadrate aa bb etc. geschieht unmittelbarmit Hülfe der Quadrattafel, die der Produkte ab aiv etc. nurdann unmittelbar, wenn die Coefficienten sehr einfache Zahlensind, andernfalls bestimmt man
[ab] = ‘ ([(o q- &) 2 ] — [aa] — [&&]) etc. (1)
Man erreicht dadurch namentlich den Vortheil, dass man beiverschiedenen Vorzeichen der ab etc. nicht 2 Columnen ab (für+und —) schreiben, überhaupt auf die Vorzeichen keine Rücksichtzu nehmen hat. ausser bei Bildung der Summen s, a+ b etc.
Demnach hat man obige Tafel noch durch folgende Columnenzu ergänzen
«i + &i |
a t H- w t
a L + s t
K
*+- 1V t
h + s l
W, H- s.
tto j
a z •+- w 2
«2 +«2
b*
+ Wj
b z "+■ s 2
U’ z -+- s,