Logarithmen 291

Man kann aber diese Lache auch noch von einer andern Seite betrachten. Wenn man nämlichwe und dieselbe Zahl der Reihe nach aus immer höhere Potenzen erhebt, z. B. 2 1 , 2‘ 2 , 2 3 , 2 4 ,~ > >o erhält man eine Reihe von Zahlen, welche alle eine gemeinschaftliche Wurzel haben, nämlich7' 8, 16, 32. Nimmt man nun die Wurzel ein für allemal als bekannt und gegeben an und

■. a 9* ^ aTl ", die wievielste Potenz irgendein bestimmter Zahlenausdruck von dieser bekannten Wurzelhat man als Antwort darauf nur den Potenzexponenten anzugeben. So würde man z. B.Akn, 16 jst hjg vierte Potenz der bekannten Zahl 2, 32 die fünfte Potenz u. s. w. Dies könnteto an nun beliebig weil fortsetzen bis zu sehr hohen Potenzen der Zahl 2. In diesem Falle nun,Nch immer nur um eine und dieselbe Wurzel handelt, nennt man ein solches System vonv^^ander folgenden Potenzen ein Logarithmcnsystem: die Zahl, welche zu potenziren ist, heißti Grundzahl oder die Basis des Systems, der Potenzexponent der Logarithmus und die% en klicf) selbst der Numerus. Für Logarithmus hat man die kurze Bezeichnung log., fürÜNlerus die kliere Ütereiäiniin-I mim. Wie in dem aebraucbten ReiiHete 9 uie

l ttierug die kurze Bezeichnung »um. Wie in dem gebrauchten Beispiele 2 die Grundzahl des^„7°"ls war, so kann man begreiflicherweise auch jede andere beliebige Zahl als Basis betrachten«d würde demnach so viele verschiedene Logarithmcnsysteme erhalten, als es Grundzahlen gibt,' d-^unendlich viele.

n der Mathematik hat man namentlich zwei Logarithmensysteme. Das eine, welches das^ürliche genannt wird, hat zur Grundzahl die Zahl 2,7182818 ....; dieses bietet für ge-( 0 '" e Rechnungen bestimmte Bequemlichkeiten dar, hat aber für die im gewöhnlichen Leben vor-'""^nden Rechnungsarten beinahe gar keine Bedeutung, weshalb wir es hier übergehen. Dasijj *- tc dagegen ist von außerordentlicher Wichtigkeit, da es zur Erleichterung und Abkürzung vieler/«»ungsoperationen, die tagtäglich vorkommen, dienen kann. Die Basis dieses Systems ist dieaus- *0; eä heißt das gemeine oder B r i gg'sche System. Mit diesem wollen wir uns hierschließlich beschäftigen.

Wenn man die ersten acht Potenzen der Zahl 10 bildet, so erhält man10 ', 10 ' 2 , io 3 , 10 4 , 10 °, 10 °, 10 7 , 10»

10 , 100 , 1000 , 10000 , 100000 , 1000000 , 10000000 , 100000000 .

^ 'die Zahl 10 läßt sich, wie man sieht, äußerst leicht zu jeder beliebigen Potenz erheben, da^ "ur so viele Nullen anzuhängen braucht, als der Potenzexponent Einheiten hat. Dahera ufV 1020 ^ejemge Zahl sein, welche aus 1 und 20 Nullen besteht, u. s. w. Wenden wir dies nundie a * 6 °k’^ c (Erklärung von Logarithmus und Numerus an, so würde der Logarithmus von 1000ein 'i 3 sein oder, wie man kurz schreibt, log. 1000 — 3, ebenso log. 1000000 — 6 . Mit«tti ® crte ' »ran kann stets ohne weiteres ohne Rechnung den Logarithmus einer jeden der-H, e J en Zahl finden, wenn man nur die Nullen zählt. Dies geht aber nur bei allen den Zahlen,liea ° au ® einer 1 mit Nullen bestehen. Es fragt sich nun, wie die Logarithmen der dazwischen^nden natürlichen Zahlen beschasfen sein würde».s>y bev Logarithmus von 10 — 1 und der Logarithmus von 100 — 2 ist, so müssen die[ieq^ men sämmtlicher Zahlen zwischen 10 und 100, also von 11 bis 99, zwischen 1 und 2h. sie müssen größer als 1 und kleiner als 2 sein, oder, was dasiclbe ist, sie müffen aus^ einem angehängten Tecimalbruche bestehen. Ebenso liegen die Logarithmen derjeßx ^ zwischen 100 und 1000 zwischen 2 und 3 u. s. w. Auf diese Weise kann man vonz. m ledigen Zahl wenigstens ungefähr angebe», wie groß ihr Logarithmus sein wird. So istztzj.'Logarithmus von 45718 — 4 plus einem angehängten Dccimalbruch, denn er muß^'chen 4 und 5 liegen. Umgekehrt wird man leicht, wenn ein bestimmter Logarithmus gegebencf^ ne weiteres wenigstens die Stellcnzahl seines Numerus angeben können. Hat man z. B.liezx '^rsthmus 4,1347692, so muß der zu ihm gehörige Numerus zwischen 10000 und 100000siuj,k- h- er muß fünf Stellen haben. Da nun diejenigen Logarithmen, welche ganze Zahlen^ge> ' 0 u- s- w.), nur zu Zahlen gehören, welche weiter und immer weiter auseinander

»Uch während die Anzahl der dazwischen liegenden Zahlen sehr vielnial größer ist, so müffensich l ,e leisten Logarithmen Decimalbrüche sein. Sind die Zahlen, um deren Logarithmen es4 ahi?^^lt, größer als 10, so muß der Dccimalbruch außerdem noch vor dem Komma eine ganze^k>e» bcnu von 10 ist ja der Logarithmus 1. Zahlen dagegen, welche unterhalb 10 liegen,steht e ’ Ucrc Logarithmen als 1 , sind also Decimalbrüche ohne ganze Zahl, d. h. vor dem Kommaäti e i n ' ne Rull. Dem entsprechend gehört jeder Logarithmus, der ein echter Bruch ist, höchstensemfteUi 3en Zahl. Da hiernach die vor dem Konima eines Decimalbruchs stehende Zahl° Mag nun eine Null oder eine beliebige andere Zahl sein) stets ohne weiteres die Stellen-

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