[III.]

weitere Ausführungen.

295

Beispiel 3. Der doppelten Bedingung substituieren wirjetzt zwei einfache Berührungen mit zwei Curven F, V von denOrdnungen m, m‘, und den Classen n, n'. Die Zahl x ist indiesem Falle nach Nr. 103. gleich der Zahl der Durchschnitts-puncte zweier Curven (2m-fn)-ter und (2m'+n')-ter Ordnung.Folglich ist

x = 4mm' + 2 (mn'-\-m'n) + ««'.

In der Reihe (2p, V, F') ist die Zahl der Kegelschnitte, dieaus einem Paar Puncte bestehen nach Nr. Illdto.

2x—y = 4mm',

und hieraus erhält man

y = 4 mm' \ 4(mn‘ | m‘n) + 2 nn‘,und als Correlate

s = 4 nri \ 4(mn‘ + nm!) + 2 mm!,u = 4nn' + 2 (mn‘ + nm') + mm'.

Diesen Werten gemäsz, die der Relation (1) genügen, ge-ben die Gleichungen (2)

a — nn‘, b = mn‘ -f nm‘, c = mm'.

Folglich ist die Zahl der Kegelschnitte des Systems (A, p, v),welche zwei Curven F, V berühren, gleich

nn‘ A + (mn‘ + nm')p + rnm'v.

Mit der eben auseinandergesetzten Methode kann man auchdie Charakteristiken A, /a, v eines Systemes ( B , W) von Kegel-schnitten, die einer einfachen und einer doppelten Bedingungunterworfen sind, bestimmen. Darauf kann man eine neueDoppel-Bedingung W' einführen und gelangt so zur Bestim-mung der Charakteristiken der Reihe (1F, W') und zu der Zahl Z (B, W, W') der Kegelschnitte die einer einfachen Bedingungund zwei Doppel-Bedingungen Genüge leisten.