NOTE

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QUATRIÈME L I Y R E.

Voie, la démonstration promise page îffo. Supposons (fig. 85 ) le peint ginfiniment proche de G , et les lignes A g , B g avec les arcs de cercle G e, g f ydécrits des points II et A , comme centres, de sorte que ge soit la différenceentre G B , g B , et G / celle de G A , g A ; le petit côté G g de la courbe étantprolongé, lui sera tangente, et sa perpendiculaire CD représentera l’axe de ré-fraction. Maintenant, puisque partout la différence de GA et AS est à celle deG H et B S en même raison , il suit que les différences des lignes infinimentproches GA, Ay et G B , Bg seront en même raison. Mais il est visible queles angles fgG, gGe sent respectivement égaux aux angles A G C, BGD,qui sont l’angle ci’inclinaison et l’angle rompu. Donc G/ et ge , qui sont lessinus des angles fg G, et G g « étant en ra son constante, savoir celle qui règlelt loi de réfraction entre les milieux A et B (savoir de 3 à 2 en passant del'air dans le verre , ou de 4 à 3 en passant de l’air dans l’eau ) , il suit queles sinus des angles A G C et BGD sont dans cette même raison , et par con-séquent G B est la vraie position du rayon rompu qui doit aller , après uneréfraction , du point A au point B.

Quant à la description de la courbe , voici celle qui suit de la propriététrouvée par Descartes. Soit le point A ( fig. 83 bis. ) , celui dont partent lesrayons, B ce'ui auquel ils doivent converger, et S le sommet de la courbepris à volonté. Ayant pris un point C quelconque , que S C soit divisé en D ,de sor:e que SD soit à SC dans la raison du sinus de réfraction au sinusd’incidence dans le passage du milieu de A à celui de B , comme de 2 à 3 ;si J) est dans le verre et B dans l’air : décrivez ensuite du point A , commecentre , au rayon AC , et du point B, au rayon BD, les arcs de cercle CG g, DGg,leur intersection G sera un point de la courbe ; et prenant un autre point C ,on aura un autre point de la même courbe. Car il est aisé de voir qu’au moyende cette construction, toutes les lignes AG croîtront, et les B G décroîtrontsuccessivement, de sorte que leurs accroissemens et dccroissemens respectifs serontdans la même raison que SC et SD, ce qui est la propriété trouvée par Descartes.Cette construction est celle de Neuton , dans ses Lcctiones Optiez, part. I, prop. 34.

Il sera, au surplus , facile à ceux qui sont suffisamment géomètres , de veirce qu’il v zuroit à faire si les rayons incidens étoier.t parallèles entre eux ( caralors le point A étant infiniment éloigné , l’arc C G deviendroit une ligne droiteperpendiculaire à C A ) , ou si ces rayons étant divergens, ou convergens vers unmême point, dévoient être renvoyés à un autre, ou de manière à ce qu’ils di-vergeassent comme venans d’un autre, &c. ; ce qui donne naissance à autant decourbes differentes.

Nous nous proposions d’entrer ici dans quelques détails ultérieurs sur l’équationet les autres propriétés de ces courbes ; mais faute d’étendue, nous sommes obligés«D nous borner ici à quelques mots sur ce sujet.