386 HISTOIRE

donc négliger dx', sans erreur ; ainsi l’accroissement de x 1 est* 2 . xdx. On démontre de même que la différentielle de xy esty d x + x dy , et non y d x x dy -\-dx dy ; car dxdy estInfiniment petit, eu égard à y d x ou x dy. Tout cela, quoiqu’enapparence contre la rigueur géométrique , ne laisse pas d’êtrevrai , ainsi que nou^ allons le voir.

En effet Leibnitz , en négligeant certaines grandeurs , n’arien fait qui ne fut déjà familier aux analystes et aux géomètres.Toute quantité qui dans certaines circonstances devenoit moindrequ’aucune grandeur assignable , quelque petite qu’elle fut, étoitréputée nulle dans ces circonstances. C’est ainsi qu’en doublantcontinuellement le nombre des côtés d’un polygone inscrit aucercle , on regardoit le cercle et le polygone comme se con-fondant enfin , sans avoir égard aux petits segmens , qui sontla différence de l’un et de l’autre ; car on démontroit que lasomme de tous ces segmens décroissoit au point de devenir moindrequ’aucune quantité assignable. C’est là précisément le cas desinfiniment petits de Leibnitz. A mesure que dx diminue dansl’exemple précédent, la raison de d x* à 2 xdx diminue etdevient enfin moindre qu’aucune raison assignable, lorsque d xdevient moindre qu’aucune quantité donnée. On ne peut doncregarder dx' 1 , que comme nul comparé k 2 xdx , et par con-séquent dx et 2 xdx, expriment respectivement les accrois-semens de x et de x % lorsque ces accroisseinens sont infinimentpetits , c’est-à-dire dans l’instant où ils s’anéantissent.

Mais que seront , suivant ce système , les différens ordresd’infiniment petits , ou de différences de différences ? Nousconviendrons ingénuement qu’il n’en donne pas une notionaussi distincte et affranchie de difficultés que celle de Nenton.Quelque effort qu’ait fait un bel esprit géomètre , le célèbresecrétaire de l’Académie , pour établir l’existence de ces diffé-rens ordres d’infinis et d’infiniment petits , c’est, à notre avis ,un édifice plus hardi que solide. Pour mettre cette partie du calculde M. Leibnitz à l’abri de toute difficulté, il est nécessaire de re-courir aux notions qu’en donne M. Neuton , et que nous avonsexpliquées dans un des articles précédens. Au reste , tout est demême dans le calcul différentiel que dans celui des fluxions. Ils nediffèrent que dans la notation et dans la manière dont leurs au-teurs ont envisagé leur principe fondamental. Ainsi tout ce qu’ona dit dans l’article V, sur l’application du calcul des fluxions àla méthode des tangentes, à l’invention des maxima et minimci ,à la quadrature et à la rectification des courbes, &c. , doit s’en-tendre également du calcul de M. Leibnitz. 11 n’y a qu’à changerles x,y ,x, &c. en dx, dy , ddx , &c. , et l’on aura lesmêmes conséquences , les mêmes règles de calcul.