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au même point, et qu’on décrive par ce point un cercle quel-conque ayant son diamètre vertical, ce cercle est la courbe àlaquelle un corps roulant par un de ces plans quelconques ,arrive dans le même temps, de sorte qu’une infinité de corpsroulans le long de ces plans inclinés en nombre infinis , for-ineroient toujours une circonférence circulaire. Bernoulli donnaà cette courbe le nom de synchrone , nom formé de deux motsgrecs, qui expriment cette propriété ; et il trouva qu’elle coupoità angles droits toutes ces cycloïdes , d’où il est facile de tirerla solution ci-dessus. Car si l’on suppose une synchrone quel-conque toucher la ligne donnée de position , ce point de contactsera évidemment celui par lequel doit passer la cycloïde cherchée,et puisque celle-ci coupe perpendiculairement la synchrone ,elle coupera de même la ligne donnée à ce point.

Jean Bernoulli ne s’en tint pas là : un problème bien plusdifficile que les précédens , est celui-ci. De toutes les courbessemblables construites sur un même axe horizontal , et ayantle même sommet , quelle est celle dont la portion compriseentre ce sommet , et une ligne donnée de position , est par-courue dans le moindre temps ? Son frère , content de l’avoirindiqué , sembloit n’avoir osé le tenter. Jean Bernoulli en donnala solution , et pour enchérir sur les difficultés de son frère, etl’embarrasser à son tour, il le lui rétorqua avec l’addition d’unenouvelle difficulté. Il n’étoit plus question de courbes semblables,mais seulement du même genre. Si l’on supposoit, par exemple,une infinité de demi-ellipses construites sur le même diamètrehorizontal , et ayant leur axe conjugué dans la verticalequelle seroit celle qui seroitparcourue dans le moindre temps ?M. Jean Bernoulli ajoutoit qu’il en donneroit la solution , si sonfrère ne la donnoit pas. A la vérité , nous remarquerons qu’ily eut dans ce défi, de la part de Jean Bernoulli , un peu desupercherie , s’il est permis de parler ainsi. On trouve en lisantson commerce épistolaire avec Leibnitz ( i ) , qu’il s’aida deslumières de ce grand homme , et qu’il tenoit de lui l’artificeanalytique qui est nécessaire pour la solution de ce problème,savoir une sorte de différentiation que Leibnitz appelloit decurvâ in curvam ; ainsi l’on eût pu îeprocher à Jean Bernoullide se faire fort des armes d’autrui. Mais nonobstant ce secours ,il ne fut pas plus heureux à embarrasser son frère que celui-cil’avoit été dans le même dessein. Jacques Bernoulli résolut cedernier problème , et consigna sa solution dans le Journal desSavans , du 4 août 1698 , sous un anagramme dont on trouvel’explication dans ses OEuvres. Il satisfit également à divers

(0 Lvibn . ac Eem, Camm. Phil. tom. I , p. 319 ,330.