7 8 HISTOIRE

que ni-\-n et n \ on ordonnera ansuite l’équation relativementaux puissances de la nouvelle ordonnée u , on y substituerala valeur de m en n , ou au contraire , leur rapport étant connu,puisque le point proposé est donné de position dans la courbe ;alors si non seulement le dernier terme , mais l’avant derniers’évanouissent , le point en question sera un point double ; s’ils’en évanouit trois , ce sera un point triple , &c.

Telle est la manière dont on détermine si un point assignéest double , triple , &c. ; mais l’essentiel de la méthode est dedéterminer si une courbe d'équation donnée a quelque pointmultiple, et où il est placé ; ce qu’on a dit plus haut y conduitfacilement. Car dans l’équation transformée comme ci-dessus ,on n’a qu’à regarder m et n comme indéterminées , et supposerle coefficient du dernier terme égal à.,zéro , cela donnera uncertain rapport de m à n , qui doit être substitué dans l’avantdernier terme , qui sera tout en ni et n ; alors si ce terme s’éva-nouit ou devient zéro , ce sera un signe que la courbe a unpoint double ; dans le cas contraire , on en conclurra que lacourbe n’en a aucun. Enfin , pour trouver le lieu où est cepoint, il faudra tirer par ces deux éqations la valeur déterminéede ttl , ce sera l’abscisse de la courbe à laquelle répond le pointdouble ; et déterminant n par la même équation , ce sera l’or-donnée ; ainsi l’on aura le point double cherché. Pour trouverun point triple , s’il y en a , il faudra égaler à zéro les coéfli-ciens du pénultième et an té pénultième terme.

Il est au surplus aisé de voir qu’une courbe du second degréne sauroit avoir un point double ; mais une courbe du troisièmedegré peut en avoir un , et non davantage , ni un triple; carsi elle avoit deux points doubles , la ligne tirée de l’un à l’antrecouperoit la courbe en quatre points ; si elle avoit un pointtriple , la droite tirée de ce point à un point quelconque de lacourbe la couperoit en quatre points : ce qui est impossible ;d’où il est aisé de tirer cette règle générale , qu’une courbedu degré n ne peut avoir de point dont la multiplicité excèden — 1 ; et si elle en a plusieurs multiples , les exposaris de leurmultiplicité , joints ensemble , ne peuvent surpasser n Ainsi ,une courbe du quatrième ordre peut avoir deux points doubles ,ou un seul point triple ; une du cinquième ordre pourroit enavoir deux , l’un double , l’autre triple , ou deux doubles , &c.

On pourroit trouver encore ces points multiples d’une autremanière , en considérant qu’à un point double , il y a deuxvaleurs égales de l’ordonnée ; à un point triple , trois , &c.On pourra donc , par la méthode de Descartes, déterminer cede manière que l’équation résultante donne deux valeurs égalesà J,