9 o HISTOIRE

autour d’uu de ses diamètres, mais autour d’une ligne quelconquesituée au dedans ou au dehors, ainsi que les courbes singulièresqui naissent de ses différentes coupes par un plan , nous croyonspouvoir encore en donner ici l’équation , en nous bornant aucas le plus simple. C’est celui où ce cercle tourneroit autourd’une de ses tangentes.

Soit donc ( fig. 3 i ) une portion de ce solide décrit par lacirconvolution du demi-cercle AFB, dont le centre est C et lediamètre A B ; et que ce demi cercle soit parvenu dans la situa-tion afb, l’abscisse AD, étant j,DE cy et EPr! 2 , on a

évidemment AE— ]/ xx -+-yy , conséquemment E b =: 2 .r -

f/ xx -j-yy , ce qui donne , après les opérations convenables,

P E 1 ;= A E x E b ou z* S zr ~\/ xx xx — xx —yy , et enfaisant disparoître les radicaux, on aura enfin z 4 x*-+-y*~ t-2.Z" xx -+- zz 1 vy -+- 2 xxyy c: irrxx 4 rryy ; équation duquatrième degré dont nous ferons usage par la suite dans unexemple de cette théorie.

Il en est des équations à la surface, comme de celles aux lignescourbes, je veux dire que, de même qu’il y en a de divers ordresparmi ces dernières, il y en a aussi de différens ordres parmi lespremières. Celles dans lesquelles aucune des indéterminées n’estélevée au-dessus du premier degré, ou dans lesquelles aucunedes indéterminées ne multiplie 1 autre, sont des équations à unesurface plane, comme, dans la théorie des lignes courbes, unepareille équation est à la ligne droite ; et l’on déterminera laposition de ce plan à l’égard de celui de la base , par une ana-lyse tout-à-fait analogue à celle qui sert à déterminer la positiond’une ligne droite à l’égard de celle prise pour axe,- ainsi soit,par exemple , cette équation la plus générale pour un plan ,a x± by rfc c z zt d ^2 o. En faisant z s o, on aura axzh. bydtzdzi o, équation à une ligne droite, qui sera la section de ce planavec la base. Les équations dans lesquelles cette puissance des in-déterminées ou leur produit s’élève au second degré, sont à dessurfaces courbes, comme on l’a vu plus haut. Cette classe d’équa- „lions à la surface comprend toutes celles qui sont engendrées parla révolution des sections coniques autour de leurs axes, et quan-tité d’autres qui , coupées par un plan situé d’une manièrequelconque, ne donneront jamais que des équations du seconddegré , et conséquemment aux sections coniques.

Ainsi enfin les équations qui atteindront le troisième degré ,désigneront des surfaces d’un ordre supérieur etc. Parmi cellesdu troisième degré il en est une remarquable, c’est celLe dontl’équation seroit xyz , zi a 3 ; car, en analysant cette équation,on trouvera qu’elle représente une surface courbe , sise dans.