DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 9 tl'intérieur d’un angle solide droit, comme l’hyperbole équilatèreentre ses asymptotes, et tout comme celle-ci est composée dedeux parties égales et semblables dans les deux angles droitsopposés par le sommet, de même la surface hyperbolique dontnous parlons est formée de trois semblables et égales dans troisdes angles solides droits , qui ont un sommet commun avecle premier.
Après avoir ainsi développé la manière d’exprimer les surfacespar des équations algébriques, et quelques-unes des propriétés deces équations, nous devons passer à la manière d’en tirer lesprincipales propriétés et spécialement les courbes résultantes deleurs sections, par un plan dans une situation quelconque: rienn’est plus simple.
Prenons pour exemple l’équation de la surface d’un cône rap-portée à un plan perpendiculaire à son axe, et passant à unedistance déterminée de son sommet ; nous le supposerons, poursimplifier, droit et rectangulaire, et r le rayon de sa base. Ontrouve facilement, en employant les mêmes coordonnées æ , yet z , on trouve , dis-je, facilement cette équation qui est r 2 zz 2 rz+ S33 ccj; -‘ryy.
Supposons d’abord le plan coupant incliné de quarante-cinqdegrés et passant par le centre , cela donnera entre z à x unrapport d’egaliié Faisons donc z — æ et substituant dans l’équationa: à z , on aura rr —- 2 rx z:yy, qui sera Celle de la projectionde la courlie sur le plan du cercle base : or cette équation estce'le d’une parabole, d’où il est aisé d’inférer que la courbe,tracée sur le plan coupant en est une.
Concevant la chose plus généralement, supposons que le plancoupant soit tellement situé que le rapport de æ à z soit celuide 1 à m, nous aurons mæ z , et nfæ* =5 z 2 ; ainsi, en mettantdans l’équation ci-dessus r/fx 1 aulieu de z*, on aura pour l’é-quation de la projection de la courbe sur le plan de la baserr — 2 mx, -+- ( m % —> 1 ) m 2 =5 -y 2 . Or cette équation, si m estplus grande que l’unité,c’est-à dire si le plan coupant passe entrele sommet du cône et la section parabolique , est celle d’unehyperbole ; et au consraire si le plan coupant passe entre la
f >arabo!e et la base, c’est-à-dire, si m est moindre que l’unité,'équation aura son terme ( rrir — 1 ) æ 1 négatif, ce qui est lesymptôme d’une équation à l’ellipse. Voilà l’origine des sectionsconiques au moins dans le cône rectangulaire, et nous aurionspu généraliser davantage cette origine en supposant un cônequelconque droit ou oblique; mais nous avons voulu simplifier.Nous indiquerons seulement à ceux pour qui cela ne suffiroit pas,un mémoire de M. Pitot, qu’on lit parmi ceux de l’académie pour