ça HISTOIRE

1733 , ou un de M. Hermann, inséré parmi ceux de l’académie

de Petersbourg pour les années iji'i et 1703.

On démontrera par un procédé semblable que toute surface,formée par une section conique tournant autour d’un de sesaxes, étant coupée par un plan quelconque , donnera toujoursune section conique : car dans l’équation de cette surface il nepeut y avoir de terme dans lequel z, ou x, ou y , puisse êtreélevée au-dessus du quarré. Donc par la substitution de x ouy h z,il ne s’introduira dans l’équation de la courbe ou de sa projectionaucune puissance de x ou y qui excède le quarré; ainsi cetteéquation sera toujours du deuxième ordre au plus , et consé-quemment celle d’une section conique.

11 y a plus : si l’on suppose un paraboloïde, ou un sphéroïde ,ou un hyperboloïde droit ou oblique, dont les sections paral-lèles soient des ellipses ( ou même une section conique quel-conque) de quelque manière qu’on le coupe par un plan , iln’en résultera jamais qu’une section conique.

Nous avons donné plus haut la ligure et l’équation à la surfacede cette espèce de bourlet sphérique, formé par la révolution d’undemi cercle autour de sa tangente à l’extrémité de son diamètre.Nous allons ici donner l’équation d’une des courbes qui résultentde la section de ce corps par un plan, savoir celui qu’on meneroit

n endiculairement à sa base, à une distance du centre égale àîoitié du rayon. Pour cela reprenons l’équation de cettesurface que nous aurons trouvée être z 4 -+- x* -t- y* -+- 2z 2 x 1 - 4 -2Z 1 < y 1 -4- ixjfyy = 4 rrxx -+- '\rryy \ ( r est le rayon du demi-cercle générateur , x l’abscisse comptée à partir du centre , t y laseconde abscisse prise sur la perpendiculaire à la première et zl’ordonnée abaissée du point de la surface sur le plan de la base).Le plan coupant passant à une distance du centre égale à undemi rayon ou l r , il n’y a qu’à substituer au lieu de xx savaleur 4 r/\ et l’équation ci-dessus qui ne subsistera plus qu’entrey et z, sur i’axe des abscisses^, et qui exprimera conséquemment

l’équation de la courbe de section, sera z 4 -4-(y-4- 2y*)z l -+-

y* -+-1 rryy r 4 , équation qui pourroit être construite à l’instard’une du second degré , en supposant z 1 ^: net y- sr t. Maisnous n’avons pas besoin de cette construction, et l’on trouve,

par un calcul facile, que le demi-axe de la courbe est — rf/~ ;que l'ordonnée répondante au milieu de cet axe ou à l’origne

des est — r~[/ 4 , qui est un minimum de la courbe, et qu’ily a à droite et à gauche deux maxima égaux chacun à ret qui

sont situés à une distance du milieu de l’axe égale à r)/i ; en-sorte que la courbe a cette forme (Jig. 3 a ) AhCDE, ou plutôt