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des surfaces; car une surface étant donnée, on peut demanderquel est le point d’où l’ordonnée abaissée sur le plan de la baseest la plus grande ; et il est visible que c’est celui dont le plantangent sera parallèle à ce plan : or si nous concevons par le pointcherché deux plans perpendiculaires, l’un à l’axe des x , l’autre àl’axe des y, ils formeront deux couibes qui seront touchées parle plan tangent à la surface, et puisque ce plan est parallèle à labase, les soutangentes seront infinies. Ainsi dans celle où l’é-quation est en x et z, on aura dz ■■ dx : : z : à la soutangente,

ce qui donne infinie, ou ; c’est-à-dire que dans l’équa-

tion de la courbe, en différentiant la valeur de z , en faisantvarier seulement x , cette valeur doit être égale à zéro. Il en.sera de même dans la courbe perpendiculaire à l’axe des x , où

y seule est variable ; on aura au point donné ^ = o, ou la diffé-rentielle de z en y , faisant seulement varier^ , égale à zéro.

Dans l’équation à la surface sphéri jue , par exemple, que xsoit prise à compter d’une extrémité du diamètre pris pouraxe îles x , le rayon étant r , l’équation à la surface serarr—irx + xx+^y + zzx= rr, ou z=z~[/- 2 .rx — xx-\-yy\ donc

en différentiant d’abord selon x , on aura dz = o ;

y 2 rx — xx "T" y y

et ensuite différentiant selon y , on aura dz — -7 y ^ Y — — o.

^ 9 y irx — xx-{-yy

Or , le dénominateur de ces fractions ne peut être infini ; ilfaut donc qu’on ait rdx ~xdx— o , et ydy = o ; ce qui , endivisant par dx et dy , donne r>—x — o, ou xz=.r et y = o.Le point où tombe la plus grande ordonnée est donc le centre.

Si dans aucun point de la surface ce symptôme n’a lieu, cettesurface, comme beaucoup de courbes planes, n’a de maximumni de minimum.

Il faut cependant faire ici une observation, savoir, que dans

tout point de maximum ou de minimum ^ et ^ doit être zéro}

mais de ce que l’on a ce symptôme, il ne s’ensuit pas nécessaire-ment qu’il y a dans ce point un maximum ou un minimum.On n’en peut conclure autre chose, sinon que le plan tangentest parallèle à la base. Ce plan pourrait couper la surface dans cemême point, comme si l’une des deux courbes ou toutes les deuxavoient au point donne' un {joint d’inflexion où la tangente fûtparallèle à l’axe. On ne le reconnoîtra, comme dans la théoriedes courbes planes, que par de nouvelles différentiations, sui-vant que leur produit sera zéro ou non; mais ceci nous mèneraittrop loin.