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DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Lrv. I.

côté , z—~\/ræ , et conséquemment, dz — ; d’où l’on tirera,

après les substitutions et réductions convenables ,

1 * d l y/rx — xx’

Quant à la quadrature de ces courbes, il est aisé de voir quel’élément de leur surface est le produit de ds par l’ordonnée 3,ou zds\ ayant donc ds par l’équation de la projection sur labase donnée en x, et la valeur de z également en x, on aural’expression de la différentielle de l’aire comprise entre la base et

rdx

la courbe. Ainsi, dans la courbe ci-dessus, ds étant = - -

_ rx—xx

et z , on aura pour différentielle de l’aire comprise entre

la base et la courbe , , ce qui est une quantité intégrable,

et dont l’intégration donne —< r'Yzr~yr ►— x ; et comme cetteexpression est négative , cela annonce qu’elle exprime l’airecylindrique répondante , non à x , mais à r — x ; et faisant con-séquemment x so , l’aire totale sera rr"J/2.

Nous avions déjà observé , en parlant du problème de Viviani ,que cette portion de surface cylindrique , ainsi comprise entre lala base de l’hémisphère et sa surface, étoit absolument quarrable.Nous remarquerons de plus ici que tout cylindre ayant pourbase un cercle tangent de la circonférence de la base de l’hémis-phère, sera dans le même cas; c’est-à-dire que la portion de sasurface, comprise entre la base et la surface sphérique, seraabsolument quarrable. Car supposons le diamètre de ce cercle

égal à ~ , on aura toujours yy tr: ~ x xx , ce qui donnera

ds - dx f \

I y/(' et z ]/ \ mT ' m T ) x > dont multiplication donnera,

. , . '-dxy T-^')

comme ci-dessus, une expression mtegrable, savoir--=—*

2 y- - x

D’après ce que nous avons dit, il ne peut échapper à toutlecteur, un peu versé dans ces matières , que l’élément de la

courbe sera égal à |/ ds 1 -f dz?. On pourra donc trouver descourbes à double courbure absolument rectifiables, en prenantpour base une courbe dont l’élément, combiné avec la valeurde dz donnée ou prise à volonté, donne une expression suscep-tible d’intégration absolue.

Nous n’irons pas plus loin sur ce sujet ; il nous suffira derépéter ici que la théorie des lignes à double courbure est d’unegrande utilité dans les opérations de l’architecture et de la coupedes pierres, lorsque l’artiste se pique de précision. Aussi cettethéorie a-t-elle été spécialemept traitée par le cit. Monge, dans les