DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. ia5résulteroit une nouvelle flexion qui feroit disparoître l’inflexion ,ensorte que la courbe, après s’être approchée de sa tangente aulieu de la traverser, rcbrousseroit chemin : ce sera alors un ser-penteinent non apparent ; il y aura quatre intersections infinimentproches de la courbe, avec la ligne qui lui est tangente. Si ce-pendant la quatrième différence d‘ y donnoit encore une valeurégale à zéro, l’inflexion reparoîtroit pourvu qu’il n’en fût pas demême de la valeur de d*y, et ainsi de suite. Mais nous sommesobligés, afin d’abréger, de nous arrêter ici, pour dire un motdes asymptotes des courbes, dans lesquelles consiste un de leurssymptômes les plus remarquables.

Le calcul différentiel s’applique avec facilité à trouver lesasymptotes des courbe» , mais il faut d’abord avoir déterminéleurs branches. Cela supposé veut-on savoir si une branche esthyperbolique ou parabolique, c’est-à-dire si elle a une asymptoterectiligne ou non , on pourra le faire de la manière qui suit. 11faudra chercher la tangente à un point quelconque T de cettebranche, et si elle est concave vers son axe, comme dans lafigure 38, n°. x ( la tangente étant TQ et la soutangente PQ), ilfaudra ôter SP de PQ; il restera la distance QS entre la rencontredelà tangente avec l’axe et le sommet. Faites donc maintenantl’abscisse SP infinie; si l’expression de S Q reste finie et, parexemple, SR ; c’est une preuve qu’il y a un asymptote qui partirade R , et son inclinaison sera donnée par le dernier rapportde S P à PT lorsque S P devient infini. Si la branche étoit convexevers son axe comme dans le n°. 2 de la même figure, il est aiséde voir qu’il faudroit ôter la soutangente Q P de l’abscisse SP; lerestant de l’opéraiion seroit le même. Enfin si en faisant^ in-finie , il en résultoit pour x , ce qui arrivera souvent, une valeurfinie ou zéro, il est évident que ce seroit une preuve que laCourbe auroit une ordonnée infinie, c’est-à-dire une asymptoteparallèle à ses ordonnées et répondant à cette valeur de x jc’est le cas de la figure 38, n°. 3. 11 est enfin aisé de voir que si enfaisant x ou l’abscisse infinie on trouvoit pour l’ordonnée unevaleur finie, cela annonçeroit une asymptote parallèle à l’axe,et qui en seroit éloigné de cette dernière valeur de l’ordonnée ,comme l’on voit dans la figure 38, n°. 4- Nous croyons que toutcela paroîtra assez clair à ceux qui ont une connoissance médiocrede la théorie des courbes pour n’avoir pas besoin d’explicationultérieure.

Le calcul différentiel étant, comme on l’a dit au commencementde cet article, beaucoup plus facile que le calcul intégral, et sesrègles étant très-simples, il sembleroit qu’il ne nous resteroit plusrien à ajouter à ce que nous en avons dit ailleurs et dans cetarticle. Nous observerons cependant que ce calcul est susceptible