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justice à Leibnitz. Outre qu’on a trop déféré aux criailleries deses adversaires dans sa querelle fameuse sur l’invention du calculdifférentiel, on ne lui a.tenu en quelque sorte aucun compte dece que lui doit le calcul intégral , et de mille vues excellentes etsublimes qu’on voit dispersées dans ses écrits. Ce que Leibnitz afait sur cette sorte de différentielle , est un exemple de l’injusticedont nous parlons. Car je l’ai à peine vu citer à cet égard , et ilY a fort peu de personnes qui aient connoissance de ce qu’il afait en ce genre , quoiqu’il ait certainement beaucoup plus qu’é-bauché la matière. On fait presque uniquement honneur de toutcela à M. Cotes , ou tout au plus à M. Jean Bernoulli , qui peutseulement concourir avec Leibnitz, comme nous le remarqueronsplus bas.

Leibnitz a donné sa théorie sur l’intégration des fractionsrationnelles dans les Acta eruditorum , au commencement de1702 et de 1703 , temps auquel n’avoit encore paru aucunouvrage de Neuton sur ce calcul. D’ailleurs comme on le voitpar le traité de Quadratura currarum , Neuton se contentoitd’intégrer ces sortes de différentielles au moyen de suites infinies ;voici une idée de la méthode de Leibnitz.

Reprenons l’expression différentielle dx x ^**^*',^*1

elle est égale à dx X /+g ^^ +t , s + dx x f + gx+l ï*+ lxi , &c.

Ainsi tout se réduit à trouver l’intégration de chacune de cesformules, ou à les transformer en une ou plusieurs autres à lafois équivalantes , de la forme de celles qui dépendent de laquadrature du cercle ou de l’hyperbole.

Pour cela , Leibnitz considère d’abord la première de cesfractions dont le numérateur est constant , et il observe qu’àl’égard du dénominateur , il est composé de plusieurs facteurssimples. En effet, suivant la doctrine des équations, cette ex-pression ix' + hx'-^gx -\-f-y ou en divisant par i, x’ i -\-- i x ' 1

est nécessairement le produit d’autant de facteurs simples qu’ily a de degrés dans le plus haut terme. Représentons-les parx - l, x m , x-+- n , &c. , /, m , n , &c. étant les racines

de l’équation x 3 zL x 1 Scc. = o , avec leurs signes contraires ;

cela étant , la première des fractions ci-dessus se réduit à

r . ,, , —t— r-—r—., &c. Or une fraction de cette forme équivaut à

rnc trois_ a -1 a _ 1 _f

(m—/). {n-r-l). (*+•/) * — m). (, n — m ). * ( l—m). ( l — n). (x+c)’

En effet , si l’on ajoute ces trois fractions en les réduisantau môme dénominateur , on trouvera la fraction précédente.

Leibnitz