DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. i(SLeibnitz n'a pas expliqué l’analyse qui l’a conduit à cettedécomposition ; mais il est aisé de reconnoître qu’il y a em-ployé celle des indéterminées , qui lui étoit si famiiièie , etcomine sa méthode favorite.

Il est maintenant facile de voir la loi de cette expression.Chaque partie connue du dénominateur est toujours le produitdes différences dont la racine du facteur qui entre dans ce déno-minateur est surpassée par les racines des autres ; quant aunumérateur il est dans chaque fraction le même , savoir a , lepremier terme constant du numérateur de la fraction proposée àréduire.

Il y a maintenant deux cas. Si tous ces facteurs sont réels etinégaux, il est visible que chacune de ces fractions sera réelle ,et positive ou négative , selon que les valeurs L , m , n ,o , serontpositives ou négatives \ ainsi on aura la fraction composée ci-dessus , égale à autant de fractions qu’il y aura de dimensionsdans la plus haute puissance de x , comme seroient celles-ci

,—--———_- A -- Sic. : par conséquent, la fraction

ci-dessus ,— , ,, . ai * — - —, &c. sera éeale à ——- 1 _ Aix -

(x + l).(x + m).(.x + n)> &

* j. Or l’on sait déjà que l’intégrale de chacune de ces

O. ( x + m

différentielles est une quantité logarithmique. Car la premièreest le logarithme hyperbolique de x -+• / , multiplié par ^ ; la

seconde , le logarithme hyperbolique de x -+- m , multiplié par

^ , &c. Voilà donc l’intégrale de la différentielle proposée ,

j- & 7 > réduite aux logarithmes, ce que l’on proposoit.

Les fractions, dans le numérateur desquelles entre la variable,ne sont pas plus difficiles ; on les réduit facilement à des nu-mérateurs constans. Car d’abord il est évident que par le même

procédé que ci-dessus , cette fraction sera égale

aux mêmes fractions partielles simples que ci-dessus , à celaprès qu’au lieu d’avoir A pour numérateur , elles auront toutes

DaA Ces fractions seront donc -rr - x \ -t- rr-^--h

M. (*+•/) ~N. (* + m)

Da.’

Dx<

m) ' O. (*•+-") ’

Mais chacune de ces fractions est réductible par la division àune suite de grandeurs entières, plus une fraction dont le numé-rateur sera constant. Car^ X (xx z+zlx -4- Il — ~i ),

où le signe inférieur du second terme est pour le cas de x — l.

Par conséquent sera^j ( xxdx z+z Ixdx

D

Tome 111.

x +

lldx

X^dtX N

rn ) »