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dont l’intégrale sera

S T

O r R E

Llx — l\ Log. ( x -4- / ), le tout

multiplié par

Mais si les facteurs ci-dessus sont égaux ou qu’il y en aitentr’eux plusieurs égaux , ou enfin si au lieu d’être tous réels ,ils sont tous ou quelques-uns d’entr’eux imaginaires , les règlesprécédentes ne pourront pas avoir lieu ; et d’abord dans le casdes facteurs égaux que nous examinerons le premier , il est faciled’en voir la iaison ; car les coéfliciens constans des dénomi-nateurs simples étant composés des différences des racines mul-tipliées les unes par les autres , quand il y aura des facteurségaux , il y aura plusieurs ou du moins une de ces différenceségale à o ; ce qui rendra tout le dénominateur nul. Ainsi larègle paroît manquer. Leibnitz néanmoins y trouve un remède.Au lieu de résoudre la fraction proposée en autant de fractionssimples qu’il y a de facteurs dans Je dénominateur, il faut, dit-il,joindre ensemble tous ceux qui sont égaux ; ce qui forme unquarré ou un cube, &c. de ces f acteurs. Si , par exemple , on

propose la fraction -— . — , , , . - • En ein-

ployant les mêmes procédés que ci-dessus , on la résoudra en

deux autres de cette forme —~—^--~

M. (* + 0 X (*+•/») M. (* + /) X (*■+•»)

où A et M sont des quantités constantes. Mais chacune de cesfractions , en rejettant le facteur qui ne change rien â l’opé-ration , se réduit à une suite d’autres fractions , comme

i i

N. (*■+•/)» N‘.( x + i)‘

jô-A—, expression dans

laquelle N est une quantité constante , savoir m — l.

Le problème se trouve donc maintenant réduit à l’intégration

d’une forme comme d * ce qui n’a aucune difficulté : car en

( x-t-l ) 1

faisant m-*-/=£, on aura dzz= dx — (xl) m z= z m . Ainsi

la différentielle ci-dessus sera ou z~ m dz , dont l’intégration

est donnée par les premiers élémens du calcul.

11 nous reste à parler à la suite de Leibnitz du cas où les valeursde comme l, m , n , o , se trouvent des valeurs imaginaires,car ce cas là n’échappa pas à ce grand homme. Or fou sait quedans la résolution d’une équation, ces racines marchent toujoursdeux à deux , de manière que chaque paire se multipliant formeun binôme de la forme or^-f- c? qui est réel. Leibnitz est doncconduit à résoudre la fraction rationnelle donnée en d’autres frac-tions , parmi lesquelles les facteurs imaginaires réunis deux à deux