DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. ï 4 ' 7

en produisent de cette forme xx l t ~ : • Il en donne un exemple sur

celle-ci °ù dénominateur x 4 —i a ces quatre facteurs

x-+- 1 , x — 1 , x-hf /— i , x —]/— i. Or ces deux derniersmultipliés l’un par l’autre donnent j.' 2 -)- i. C’est pourquoi Leibnitz

réduit la fraction proposée en ces trois —r-— 4 —,——-- 1 . .

Ainsi la différentielle -p— se réduiroit à ces trois —- 1 ——,- p~

* 4 — i 4-t* — 0 4-(*+i)

— i ( X x + i) • ^'intégration des deux premières est déjà connue :

sur la troisième , Leibnitz remarque qu’elle dépend de la qua-drature d’une hyperbole imaginaire ; ce qu’il ajoute n être autrechose qu’un secteur de cercle , dont le rayon est l’unité , et xrapportée à la tangente.

Ici Leibnitz se fait une question. Il se demande si de mêmeque l’intégration de - g4 dépend de la quadrature du cercleet de l’hyperdole, il en est de même de différentielles commecelle-ci en général , quelque soit m. Cette question étoit

apparemment plus difficile au temps de Leibnitz , qu’elle nel’est aujourd’hui ; car s’il ne prononce pas positivement , dumoins il penche à être d’un avis contraire, en disant que c’estpeut-être trop resserrer le vaste champ de la nature. Il étoit encela d’un avis différent de celui de Bernoulli , qui regardoittoutes ces formules comme dépendantes de la quadrature ducercle ou de celle de l’hyperbole, et qui néanmoins ne putamener Leibnitz à sa manière de penser. Il est aujourd’hui re-connu comme démontré qu’il n’est aucun de ces binômes, commex 6 -+- a 6 , x*-t-a s , &c. qui ne soit susceptible d’être amené àdes facteurs rationnels au plus du second degré ; et cela semblesuivre de la nature des équations algébriques , toujours réso-lubles , quelque soit leur degré, en facteurs réels, ou imaginaires,ces derniers marchant toujours par paires de cette forme ,A-t-B"!/ — i, A — B|/— i, ou quelque soit leur compositionréductible , à cette forme. Divers géomètres ont donné , indé-pendamment du théorème de Côtes , la décomposition de cesbinômes , en leurs facteurs simples ou quadratiques. Ainsi ,nonobstant le doute ou l’assertion presque positive de Leibnitz,il n’y a plus sur cela d’incertitude.

Presque dans le même temps que Leibnitz se disposoit à publierce morceau intéressant sur le calcul intégral , Jean Bernoullifaisoit de son côté la même découverte. 11 la donna en 1702 àM. Varignon , pour être insérée dans les mémoires de l’Académiedes Sciences , ce qui fut fait dans ceux de la même année. On

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