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la lit aussi clans les actes de Léi psick de 170S , a la suite du sêcon décrit de Leibnitz sur ce sujet. Sa méthode est dans le fond lamême que celle de Leibnitz. Il suppose une faction rationnelle

de cette forme

P dx

où P et Q sont des quantités rationnelles

composées de constantes, d’cc et de ses puissances comme l’onvoudra, mais où la plus haute puissance dans le numérateursoit moindre au moins d’une unité que dans le dénominateur $car lorsque la plus haute puissance du numérateur surpasse celledu dénominateur , on la réduit en divisant le numérateur par ledénominateur, et continuant la division jusqu’à ce que cette con-

dition ait lieu ; ce qui arrive toujours. Ainsi

x + -J- ax l b x> +cx+ 1

x‘ — 1

se

réduit, par la division ,àa:* + ax -4- b-+■ i-t- - +

Qu’on égale ensuite , dit M. Bernoulli , la fraction à

autant de fractions de cette forme , &c. qu’il y a

d’unités dans la plus haute puissance de Q. Qu’on ajoute toutesces différentes fractions , en les réduisant au même dénomina-teur , on trouvera , en comparant terme à terme les numéra-teurs , la valeur des quantités indéterminées a, b, c, &c. ; eten comparant terme à terme les dénominateurs , on aura les

valeurs de f,g, h t &c. Voilà donc la différentielle^ réduite

en d’autres de cette forme -OÊL , bi . x — J^L. &c. dont chacune

* ±/’ * ±g » * î * ’

exprime un logarithme. On sait d’ailleurs que f, g, h , sontles valeurs de l’inconnue x , en supposant le dénominateur Qégal à zéro. Et si ces racines sont imaginaires ou égales , enles accouplant deux à deux , on parvient par sa méthode àdes différentielles fractionnaires , dont les dénominateurs sontdes binômes quadratiques , en sorte que l’intégration dépendtoujours de la quadrature du cercle ou de 1 hyperbole. Mais ilest inutile de nous étendre davantage sur le reste , après ce quenous avons dit auparavant. D’ailleurs, les OEuvres de Bernoullisont entre les mains de tout le monde , et l’on doit y recourir.

On ne peut refuser à Leibnitz et à Jean Bernoulli d’avoir lespremiers enrichi le calcul intégral de cette belle et utile théorie.Mais il faut convenir que leurs méthodes n’avoient pas le degréde facilité qu’on pouvoit désirer. C’est ce qui a engagé M. Eulerà faire ses efforts pour faciliter cette décomposition ; cet objetest celui du second chapitre de son excellent livre intitulé :Introductio in anabysirn infinitorum. 11 y donne une méthode ,au moyen de laquelle , sans recourir aux calculs laborieux deLeibnitz et Bernouili, on trouve successivement les différens