i5o HISTOIRE

soit CAR, et le conjugue CS : il est facile de voir que le segmenthyperbolique AB P est égal au triangle CP B, moins le secteurcentral CAB, et le segment hyperbolique CA BQ rapporté àl’axe conjugué, est égal à ce même secteur plus le triangle CBQ.Or abaissant des points A et B sur l’asymptote les perpendicu-laires A H, B I , on sait que le secteur CAB est égal à l’espacehyperbolique A H I B entre les asymptotes. De plus , on sait quecet espace AHIB (la puissance de l’hyperbole ou le quarré ACétant l’unité ) est le logarithme hyperbolique de la raison de C Ià CH5 ainsi il est visible que toute fluente ou intégrale dépen-dante de la quadrature de l’hyperbole peut être réduite à une com-binaison d’espaces rectilignes et d’un logarithme d’une raison sus-ceptible d’être déterminée par les données de l’expression fluxion-naire proposée.

C’est probablement cette remarque qui a fait naître à M. Côtesl’idée de réduire toutes les fluentes dépendantes de la quadra-ture du cercle ou de l’hyperbole à un calcul, de longueurs d’arcsde cercle , ou de logarithmes hyperboliques, et même de loga-rithmes ordinaires qui sont avec les premiers en raison donnée.C’est ce qu’il a fait d’abord dans un mémoire donné en 1714dans les Transactions philosophiques, n°. 338 , sous le titre deLogornetria ; et ensuite plus au long dans le livre intitulé Har-monia mensurarum , ouvrage qui lut achevé et mis au jour en1723 , par les soins de M. Robert Smith , son ami et son col-lègue à l’université de Cambridge. On trouve dans ce livre , indé-pendamment d’autres belles spéculations géométriques et ana-lytiques , dont quelques-unes trouveront place ici , on y trouve ,dis-je , des tables fort amples , dans le goût de celles deNeuton ,mais bien plus étendues, où à chaque forme d’expression fluxio-naire ( à une seule variable ) correspond sa fluente , expriméeen quantités données par l'expression proposée. Ce sont desfluentes ( ou intégrales ) absolues , lorsque la fluxion en estsusceptible , ou des fluentes où entrent des arcs de cercle oudes logarithmes , si la fluxion proposée conduit à la quadraturedu cercle ou à celle de l’hyperbole. Un exemple de cet usage nesatiroit être déplacé ici.

Qu’on propose de trouver la longueur d’un arc paraboliqueAP (A g. 42 ) , dont a est le paramètre et l’abscisse A Q = x.On sait que la fluxion ( ou différentielle ) de l’arc AP est

• / dx 1 / û ax X 2 dx y a -J- 4*

exprimée par— * — y ~~ 9 ou- v --

v

)

En consultant dans la

table la forme à laquelle elle peut se rapporter, on trouve que c’estcelle-ci , D^+b-' dz\/ e-h fz n , dans laquelle en comparantternie à terme , coéfficiens et exposans avec ceux de l’expressiondonnée, on a « = 1 ; ô —o $ — 1 = — ~ e — a