DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. i 5 i

Or l’intégrale de cette formule donnée dans la table, en fai-sant ces suppositions, se réduit à^J/a -|- 4.2' +Mog. (

Supposons maintenant a— i ; x = 2 ; cette formule deviendra

3 -t- 4 log. ( 2 |/ 2 -f- 3 ) ; ==: 3 -t- 4 log. byp. 5 .828596 = 2 -+- 4log. tab. 5.828496 x 2.80268 5 . Mais le logarithme tabulaire ouvulgaire de ce nombre est 0.768558 , qui étant multiplié par

4 et 2 . 3 o 2585 , donne 0.4405964; à quoi ajoutant 3 , on a fi-nalement 3.4405964 ; et telle est, à un millionième près envi-ron , la longueur de l’arc AP.

Si l’on avoit cherché la longueur de cet arc , en réduisant

en suite l’expression * + 4 * , multipliant après cela par dx ,

et intégrant, on eût trouvé pour sa valeur J/ax x ( 1 -+- p — ~

-+- 4^-&c. ) ; ce qui , en supposant comme ci-dessus

x = 2 et a = 1 , eût donné cette suite numérique , bien éloignéed’être convergente , et conséquemment de nulle utilité, savoir

, &c. ). Elle ne sera même que médiocre-ment convergente , lorsque x sera moindre que a ou l’unité.

11 est vrai que si l’on extrait la racine de a -+- 4 x , en don-nant au binôme cette forme I/4 x-ha, on auroit une suite oùx , supposé plus grand que l’unité , entreroit dans les déno-minateurs ; ce qui la rendroit d’autant plus convergente , quex seroit plus grand. Mais la méthode de Côtes paraîtra sansdoute plus courte et plus élégante.

Outre l’ingénieuse invention dont on vient de rendre compte ,on en doit encore à M. Côtes plusieurs autres , par lesquellesil a beaucoup avancé cette partie de la géométrie. Telle est laréduction de plusieurs fluxions qu’on n’avoit pas encore trouvéle moyen de ramener aux aires de sections coniques. On sebornera ici à une belle propriété du cercle , qui est d’un grandusage pour l’intégration des différentielles en fractions rationelles.

On a remarqué ci-devant que Leibnitz avoit été embarrassé àla réduction des fractions de cette forme x 4 : ou plus géné-ralement x"d<zx", en leurs facteurs de deux dimensions , et qu’ilavoit même soupçonné que cela ne se ponvoit pas toujours. Ilse tiompoit néanmoins , comme on l’a déjà observé. Touteexpression semblable est réductible en facteurs quadratiquesréels de cette forme x 2 dzikx-\- a 2 , dont chacun se réduit endeux facteurs simples imaginaires. Mais en suivant les voiesordinaires pour démêler ces facteurs, on peut rencontrer degrandes difficultés. L’avantage du théorème de M. Côtes est deles donner avec une facilite extrême , et presque sans aucun