i 5 a HISTOIRE

calcul. Le voici, tel que l’expose M. Smith , dans le livre dont

il s’agit.

Si l’on cherche les facteurs du binôme a d= l’exposant *étant un nombre entier quelconque , divisez la circonférencecirculaire AB C D , &c. ( fig. 4 -d ) , dont le centre est O , en autantde parties égales AB. BC. CD , &c. qu’il y a d’unités dans a*.Et de chacun de ces points , tirez à un point P du rayon ( mêmepris si l’on veut dans le prolongement comme jïg. 44 ), les lignesPB. PC. PD, &c. Ensuite si nous supposons O A = 1. et O P=or,le produit de B A x P C x P E, &c. , tirées de P aux divisionsalternes , sera égale à a — x* ( ou a:* — a* si le point P est horsdu cercle ). Et le produit des restantes PB. PD, PF. P H , &c. ,sera à a*-f- x*. Par exemple, que soit = 5 , il faudra divisertoute la circonférence en dix parties égales ( même fîg. ). On

aura AP x CP x EP x GP xIP — a> -a: 5 , ce qui donnera

( parce que P C = P I , et P D = P H ) , APxfC’x PE' = OA !— OP 5 . De même on aura P B x PDx P F x P A x P K , c’est-à-dire, P F x P B 2 x P E* =0 A 5 -+- O P 5 . On verra plus bas que cettebelle propriété du cercle n’est qu’un cas particulier d’une plusgénérale découverte par M. de Moivre. Mais le principal honneurde la découverte n’en est pas moins dû à Côtes.

Maintenant il est aisé , à tout géomètre un peu versé dansl’analyse , de voir comment cette division du cercle servira àdéterminer les facteurs d’une expression comme a' —a: 5 , et autressemblables. Car supposant OP = .r , puisque le cercle est diviséen dix parties égales , on aura les sinus et cosinus de chacundes arcs comme AB j AC ; AD, &c. , et l’on trouvera les expres-sions de P A , P B , P C , &c., ou PB 2 ; PC 2 , P D 2 , &c. On a danscet exemple particulier PA = a — x ; c’est le premier diviseurcherché de a 5 — ■x 1 ’. L’arc AC étant de 72 0 , son sinus C c estdonné ainsi que son cosinus O c , et conséquemment P c sera

a; — cos. 72 0 . Donc P C 2 sera — C e 2 -t-a : 2 —ix cos. 72® cos. 72 0 *Mais les quarrés du sinus et du cosinus sont égaux ensemble àcelui du rayon ; c’est pourquoi l’expression se transformera encelle-ci PC 2 = a 2 — -ix cos. 72°.-*- x-. On trouvera de la mêmemanière PE 2 = a 2 -+-2a- cos. 14-4° ~* ITia i s cos. i44-° = — cos.36 ° 5 ce qui donnera PE 2 =a 2 — o.x cos. 36 . y -+- a: 2 . Les 3 facteursde a 5 — a; 5 seront donc a — x ; à 1 —2a: cos. 72.°-+-a: 2 ; a 2 —2arcos. 36 .° ■+■ x 2 . Ces deux derniers sont quadratiques et ne peuventse subdiviser en facteurs simples autres qu’imaginaires ; car enrésolvant cette équation x 2 — 2a: cos.... -4- a 2 , on trouvera fina-lement x —cos.... = V( cos. 2 ... — a 1 ) } ce qui est une expressionimaginaire , puisque le cosinus est toujours moindre que a. Cetexemple , vu la nature de cet ouvrage, doit suffire ici pour mettrele lecteur sur la voie. T