164 HISTOIRE

mêlées entr’elles et avec leurs variables finies. Cette partie ducalcul intégral n’est pas de moindre importance que la précé-dente. Car c’est d’elle que dépend une multitude de problèmesf'réquens dans les recherches géométriques , et où l’on a besoinde remonter à la nature d’une courbe , les propriétés de sa tan-gente ou de sa développée étant connues. On lui donna par cetteraison , dans sa naissance , le nom de Méthode inverse destangentes ; mais ce nom est aujourd’hui tout-à fait impropre.Cette partie du calcul infinitésimal est aussi la plus difficile , etmalgré la sagacité des plus grands Géomètres , il y a des cas sansnombre où elle élude leurs efforts , ou pour mieux dire , lenombre des cas susceptibles de résolution, n’est qu’extrêmementpetit en comparaison de ceux qui s’y refusent encore.

Lorsqu’on a une équation différentielle où les indéterminéessont mêlées ensemble , il y a deux procédés employés par lesGéomètres. Le premier consiste à tâcher d’intégrer l’équationsans les séparer ; car puisque une quantité telle que xy à unedifférentielle mêlée comme xdy -\-y dx , et que cette autre plus

composée ~Vxx -h xy a celle- ci ~ t d est naturel de

commencer par tenter si la différentielle proposée ne vient pointde quelque expression en termes finis, renfermant les variablesmélangées entr’elles. Il est évident que, lorsque cela réussit, ona le rapport de ces variables exprimé en termes finis ; le restéest l’ouvrage de l’algèbre ordinaire.

Ici comme dans l’autre branche du calcul intégral , c’est unecertaine sagacité , une certaine habitude des formes que prennentles différentielles dans les différens cas , qui sert principalementà reconnoître ceux où les différentielles sont intégrables. C’est-làen quelque sorte l’élémentaire du calcul. On doit recourir auxouvrages qui en traitent. Nous remarquerons au surplus que l’ona trouvé des caractères propres à faire reconnoître quand cetteintégration peut avoir lieu. Il arrive même quelquefois qu’unedifférentielle a besoin d’être multipliée par une fonction parti-culière de ses variables pour devenir intégrable. On a trouvé lesmoyens de déterminer cette fonction quand il y a lieu ; car celan’est pas toujours. On fera connoître ceux à qui l’on doit ces arti-fices ingénieux.

Mais lorsqu’on ne peut parvenir à cette intégration , alors lesecond procédé a lieu. Il consiste à tâcher de séparer les indé-terminées les unes des autres , et à faire que chacune se trouvedans un des membres de l’équation , les x avec les dx , et lesy avec les dy. Alors le problème est réduit au cas que nousavons traité dans l’article précédent, et l’équation est du moinsconstructible par la quadrature du cercle , ou de l’hyperbole ,