DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. i65ou de quelque courbe d’un ordre plus élevé. Lorsqu’enlinl’équation n’est ni intégrable ni séparable , alors il faut recourirà d’autres artilices dont nous parlerons.

Il est à propos de remarquer , afin de donner une idée detoute l’étendue du problème, qu’il y a des différentielles de dif-férens ordres. Celles du premier sont celles où il n’y a que despremières-différences des variables comme x et y, qui peuventmême être multipliées entr’elles ou élevées à une puissance quel-conque. Ainsi x 1 dydx±xydy*zt; xydx*=:o, est une équationdifférentielle du premier ordre. Mais lorsqu’il s’y trouve dessecondes différences comme ddx , ddy , soit multipliées en-tr’elles , soit élevées à une puissance quelconque , c’est une dif-férentielle du second ordre , et ainsi des autres plus élevées.

Neuton, dont le nom se trouve en tête de presque toutes lesthéories inventées depuis le milieu du dernier siècle , envisageoitce problème dès les premiers temps où il découvroit ce nouveaucalcul. Il étoit, du moins en 1676 , en possession des deux mé-thodes dont on a parlé plus haut, pour trouver le rapport desindéterminées dans une équation fluxionnelle entre deux quan-tités variables , quelle que fût leur complication. Le lecteur nedoit cependant pas en conclure que Neuton ait résolu le pro-blème en entier \ cela s’accorderoit mal avec ce qu’on a dit plushaut. La méthode de Neuton donne seulement le rapport cherchéen série infinie. Content de cette solution générale , Neuton n’apas poussé plus loin ses recherches. Quelquefois à la vérité cettesérie se termine , et alors on a, en termes finis , une équationentre les deux variables qui détermine leur rapport. Mais celan’arrive pas toujours $ au contraire, une équation a quelquefoisune intégrale finie , et la méthode de Neuton donne unesuite infinie. L’une et l’autre valeur seront bien les mêmes ;mais la première est beaucoup plus simple et plus satisfaisantepour l’esprit. C’est pourquoi les Géomètres , réservant la mé-thode de Neuton pour les cas désespérés, ont recherché desmoyens , soit pour intégrer en termes finis , lorsque cela se peut,soit pour séparer les indéterminées , ce qui fournit un autremoyen de représenter les intégrales. On va donner une idée desdifférens expédiens imaginés pour atteindre ce but.

Les cas où une équation différentielle a plusieurs variables estintégrable , sont en bien petit nombre en comparaison de ceuxoù cette intégration est impossible. C’est, comme nous l’avonsdit , par une sagacité et habitude à reconnoître les formes que

Î irend une quantité par la différentiation, qu’on parvient à trouveres intégrales elles-mêmes. On a remarqué , par exemple , qu’unequantité telle que xy étant différentiée donne ydx -t- xdy. Ainsidonc lorsqu’on aura une quantité formée ae deux membres