DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 22 3seule inspection des coef’ficiens des termes de l’équation pro-posée une suite d’expressions qui approchent continuellementet de plus en plus de la valeur d’une des racines de l’équation.Etant donnée, par exemple, cette équation du quatrième degré,1 -h ix — 5 xx -I- 4 x J — x 4 ( forme à laquelle toute équationpeut facilement être réduite ) , il considère cette expressioncomme le dénominateur d’une fraction qui doit donner une sérierécurrente dont l’échelle de relation sera, parce qu’on a vu ci-dessus , — 2 a -+- 5 B— 4C -H D, et il fait voir qu’après uncertain nombre de termes, la fraction formée d’un terme quel-conque divisé par le suivant, donne alternativement une valeurplus grande et une moindre que celle d’une des racines cherchées,et toujours de plus en plus approchante. Ainsi, dans l’exempleci-dessus, en prenant arbitrairement les quatre premiers termes( parce que l'échelle de relation est de quatre ), savoir 1,1, 1,1,on a cette série récurrente 1,1,1, 1,0,2, — 7, 25 , — p 3 ;341 , — 1254 &c.; ce qui donne pour la valeur d’une desracines cherchées = ~ ou l’une par excès, l’autre par

défaut; mais fort approchantes de la vérité. En prolongeant plusloin la série, on l’auroit encore plus exactement.

Il est vrai qu’il y a des cas où cette règle paroît manquer ,comme ceux où l’équation a des racines égales ou à très-peu prèségales, ou des racines imaginaires. Mais l’auteur y trouve unremède simple et dont résulte une opération qui n’est guèremoins facile.

Cette méthode est aussi applicable au retour des suites, ou àla résolution des équations d’un nombre inlini de termes, ainsi

qu’aux extractions des racines simples des nombres. Car Y 2,

F ar exemple, n’est autre chose qu’une des valeurs de a: danséquation incomplète x‘> — 2 = 0. Mais le développement detout ceci nous meneroit trop loin, et nous renvoyons au mé-moire même de Daniel Bernoulli, ou à l’ Introduction à L’analysedes infiniment petits de Euler , chapitre XVII , où cette mé-thode d’approximation est expliquée.

Il y a encore des séries qu’on nomme récurro-réeurrentes, ourécurrentes de divers ordres , que les cit. Lagrange et La Placeont considérées et appliquées à la résolution des diverses ques-tions très-compliquées de la théorie des probabilités. Mais noustâcherons d’en donner ailleurs une idée.

M. Stirling, célèbre géomètre anglois, est un des premiers quise hâtèrent d’ajouter aux découvertes de Moivre, sur la théoriedes séries; c’est l’objet de son excellent livre intitulé, Méthodusdifferentialis seu de summatione et interpolatione seriarum. ,qu’il publia à Lqndres en 1730. Il entre nécessairement dans