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notre plan de donner quelque idée des artifices ingénieux dont

M. Stirling fait usage pour remplir son objet.

M. Stirling a été conduit à sa découverte sur ce sujet par laconsidération de la relation des termes d’une suite les uns àl’égard des autres. M. de Moivre, il n’en disconvient pas, lui enfournit les premières idées par ses inventions sur les suites ré-currentes; mais il y a cette différence que dans les suites con-sidérées par Moivre, la relation de chaque terme au précédentou aux précédens est exprimée par des quantités invariables ,au lieu que dans celles considérées par M. Stirling , ces quan-tités sont variables; chaque terme y est bien donné par le pré-cédent , au moyen d’une équation qui est de la même form e ,mais qui a une valeur différente à mesure que le terme estplus éloigné du commencement de la suite. Dans celle-ci, parexemple , - 1 , |, , —, &c. chaque terme est égal au précédent

multiplié par cette expression , de sorte que nommant T un

terme quelconque , le terme suivant T' est= T. x ; mais au

lieu que dans les progressions géométriques ou récurrentes ,z est une quantité constante , elle est ici pour le premier termezéro; pour le second, 1: pour le troisième, 2; c’est-à-dire ladistance du terme T au commencement de la série. Il est faciled’en faire l’épreuve, en mettant successivement au lieu de zdans l’expression ci-dessus, les nombres o. 1. 2. 3 . 4 -&c. Onaura les termes de la suite précédente.

Ces explications données, M. Stirling entre en matière dansune introduction fondamentale; et commence par observer que,quelleque soit la forme de l’équation qui donne un terme parle précédent, il faut la réduire à l’une de ces deux formes

A + B. z -j- C. z. z — î+D. z. 2—1. s— 2, &c. ou

A -+- B H-^- , &c. Car c’est à des séries

1 1 + 1 i- 1 + >• t + 1

de cette forme qu’il applique ses règles de sommations ;c’est pourquoi il enseigne la manière de faire cette réduction ,que d’ailleurs tout analyste peut faire par la méthode desindéterminées de Descartes et la comparaison des expressions.Sur quoi il faut remarquer que quoique ces deux expressionssoient sous une forme infinie, le plus souvent ou très-fré-quemment , la première se réduit à un ou deux ou trois termes ,dans lequel cas elle est finie, ses coefficiens ultérieurs devenantzéro.

Cela fait, M. Stirling propose et démontre ses théorèmes pourla sommation de ces suites, et ils sont tout-à-iait remarquables ;car il montre d’abord si l’équation relative des termes est la

première