:*3S HISTOIRE

second, à la différence du second au troisième ; c’est-à-dire sifaisant cette proportion, comme la première de ces différencesest à la seconde, ainsi le premier terme de la série proposée, està une quatrième proportionnelle, cette quatrième proportionnelleest plus grande que le troisième terme de la série proposée , onpourra prononcer que la somme de la série est finie.

Quant aux séries où les termes vont toujours en diminuant,quelque lentement qu’ils le fassent, si les signes sont alterna-tivement positifs et négatifs, elles auront toujours une sommefinie ; car il est évident que dans cette série décroissantea — b-\- c —■ d Sic., la somme est moindre que a, mais plusgrande que a — b , moindre que a — b + c , mais plus grandeque a — b -h c — d Sic.

Il est un genre particulier de séries qui sont aujourd’hui d’ungrand usage, surtout dans l’astronomie physique : ce sont cellesque forment les sinus ou co-sinus d’arcs circulaires , croissansou décroissans , selon un rapport quelconque. Mais la théoriede ces séries tient à un calcul dont nous n’avons encore pudonner une idée. Elle trouvera sa place dans un des articlessuivans.

Ce que nous venons de dire sur la théorie des séries, est prin-cipalement l’extrait des divers écrits d’Euler , et nous en avonsdit la raison. Mais il entre dans notre plan de faire connoîtresommairement plusieurs autres analystes à qui celte théorie ades obligations.

Je trouve d’abord dans ce nombre Daniel Bernoulli , quiconcourt en quelque sorte avec Moivre dans les premières dé-couvertes sur les séries récurrentes. Son mémoire sur ce sujetest môme antérieur aux MisccLlanea Analytica du géomètreAnglois ; mais ce dernier en avoit déjà posé les fondemens dansson traité De Mcnsura sortis. On doit aussi donner place parmiles promoteurs de cette théorie à Christian Goldbach , l’un despremiers membres de l’Académie de Pétersbourg , dont on litparmi ses anciens mémoires ( T. JII ) un écrit, sur les termesgénéraux des séries. Il y enseigne le moyen d’assigner ce termegénéral , soit en termes finis lorsque cela est possible d’aprèsla nature do la série , soit dans les autres cas en une série ; il yfait voir aussi l’usage de ces termes dans les interpolations.

Moivre ne s’est pas borné à ses spéculations sur les sériesrécurrentes ; on trouve aussi dans ses JMisccllanca Analytica( Liv. VI ) , des artifices particuliers , au moyen desquels ildémontre la formation d’une multitude de séries extrêmementcompliquées dont il assigne les sommes , tantôt absolument ,tantôt au moyen d’un arc de cercle ou d’un logarithme déter-