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pour cela absurde et impossible, puisque alors l’équation recèlepour ainsi dire trois valeurs réelles. Et c’est ce qui a engagéM. Playfair (i) à l'aire sur ce calcul quelques réflexions méta-physiques propres à l'aire évanouir cette singularité.

Avant que d’aller plus loin , nous croyons devoir parler dequelques vérités sur les quantités imaginaires , reconnues à lavérité , ou plutôt senties par les analystes que démontrées , etdont M. d’Alembert a donné le premier la démonstration. C’estque toute expression , quelque compliquée qu’elle soit de quan-tités imaginaires, peut toujours.se réduire à cette forme d’ima-ginaires A -+. B J /— i , dans laquelle A et B sont des quan-tités réelles , qui peuvent devenir positives ou négatives , oumême o. Cela n’est pas difficile à démontrer ; car d’abord ilest facile de voir que toute quantité imaginaire simple est ré-ductible à cette forme , dans laquelle A sera la somme ou ladifférence des quantités réelles ; et si la quantité négative sous

le radical est plus compliquée , comme ~V—a , -é, &c.

ces expressions sont visiblement égales à celles - ci.

y a~V — V b'V — i , où ay 6 sont des quantités réelles.La somme ou la différence de quantités imaginaires réduites

à cette forme rz rb Æ V— i c ~ti d~V — î, prend aussi évi-demment cette forme. Il en est de même si l’on multiplie

a z L bV=i par c ±dV~i , ou si on divise l’un par l’autre.Mais il n’est pas aussi aisé de le voir et de le prouver à l’égard

de celle-ci a zh b y — i , c’est-à-dire si l’on élève

a jfc b V—î à la puissance c- t-dV —î. Cela se démontrenéanmoins par la doctrine des logarithmes et du calcul diffé-rentiel j et M. d’Alembert ( Mémoires de l’académie de Berlin ,année \j/\j ), enseigne à déterminer, soit analytiquement, soitgéométriquement, les quantités A et B de l’expression ci-dessus.

■ < — ■ • — n

11 en est enfin de même d’une quantité comme a-^-b'V —i ,soit que n soit entier ou fraction, positif ou négatif. M. d’Alembertse sert de ces vérités pour en établir quelques autres relativesà la doctrine des équations ou de l’intégration des différentiellesà fractions rationnelles ( 2 ).

Nous avons dit qu’il y a une analogie singulière entre lesespaces 'circulaires et les espaces hyperboliques ; en effet, l’es-pace circulaire étant, par exemple, Sdx~V aa — xx , l’abscisse

(1) Trans. philos, ann. 1778.

{1) Voyez aussi le Traité du calcul intégral, par M. de Bougainville ; t. I.