DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 33i■que vous multiplierez par dx , et vous aurez pour la secondepartie de la différentielle, daS.^dx. Ainsi la différentielle

J 7 a a

totale, en faisant varier x et a , sera Adx -+- da S.^dx.

Donnons-en un exemple parmi les plus simples possibles.Que la courbe PM soit une parabole au paramètre a , ainsi

YM. — ~Vax. La première partie de la différentielle sera sansaucune difficulté dxV ax , car A est ici z~V ax — V a~V x.

Mais ~Va Vx différentié selon a seulement , ou x étant réputéconstant, ; ainsi la seconde partie de la différentielle

sera S. dx 1 / x.

2 V/*

Appliquons enfin ceci à un problème de la nature de ceux•dont il est ici question. Une infinité de paraboles commeAB, AB', AB f ', <5tc. ( fig. 6j ) étant donnée , quelle est lacourbe qui les coupera toutes , en sorte que les segmens pa-raboliques AEP , ÂE / P / , &c. soyent tous égaux.

Pour le trouver, soit le paramètre d’une quelconque de cesparaboles —p , x et y les co-ordonnées communes de cetteparabole et de la courbe cherchée. Or l’aire de la parabole

ecra S.dxJ/px, qui devant être constante, peut être égaléeà la constante bb. Faisons maintenant varier p dans cette ex-pression , il en résultera , comme on a vu plus haut, celle-ci,

~çg-S.dx~V'x. On aura donc pour la différentielle totale

dxVpx + g^S.dx'Vx ; et en intégrant, S.dxl/px + V p^xV x j

Æt au lieu de S. dxVpx , mettant bb son égale , et au lieu de p

son égale p£=, on aura enfin ~ = xy , ce qui apprend que c’est

une hyperbole entre les asymptotes AD , AC qui coupe toutesces paraboles sous la condition demandée.

Avec un peu d’habitude en géométrie, on auroit bien vuque cette courbe étoit une hyperbole , car chaque parabolecomme AEP est les deux tiers du rectangle inscrit dans l’hy-

f >erbole entre ses asymptotes. Mais ce ne seroit pas-là une so-ution du problème , puisqu’elle ne seroit point applicable àtout autre cas.

Cette différentiation des paramètres a été mise dans un jourparticulier par le cit. Bossut , dans un mémoire inséré parmiceux présentés à l’Académie des sciences ( tome II ). Il y donnela solution de divers problèmes du même genre , incompara-blement plus difficiles. Mais revenons à notre sujet.

T t a