DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 335avec des observations critiques sur les diverses solutions quien avoient été données.

On est sans doute étonné de ce que nous n’avons rien ditde la solution propre de Jean Bernoulli lui-même , car il n’étoitpas homme à proposer une question dont la solution ne futdéjà en son pouvoir. 11 en avoit fait part à Leibnitz, dans lemême temps qu’il lui adressoit le problème. Nicolas Ber-noulli la communiqua au public dans le premier des écrits dontnous avons parlé plus haut. Elle est d’une extrême élégance.Il trouve en effet que si le rapport du rayon osculateur à lapartie retranchée entre la courbe et l’axe est exprimé par celuide 1 à n , que a soit une ligne donnée , l’équation de la

courbe ayant la propriété demandée, sera y = S ^ ^ - x - _ , ce

qui est l’équation du cercle lorsque n = i. Et en effet, le rayonosculateur dans le cercle , qui n’est autre que le rayon , estégal à la partie de ce rayon intercepté entre la courbe et l’axe,savoir le rayon même. Si il est ^ , on aura pour équation

dy — JÇJ?— t ce qui est l’équation de la cycloïde ; car dan»

cette courbe , le rayon osculateur est partagé par l’axe en deuxparties égales. Nous ne remarquons ces choses que pour fairevoir combien la géométrie est ferme dans sa marche et satis-faisante par-là. Cette équation , au surplus , avoit aussi ététrouvée par Taylor , et ne pouvoit manquer de l’être partous ceux qui se conduiroient convenablement dans la solutionde cette première partie du problème.

Il est maintenant aisé de voir qu’en faisant varier a , quiest le paramètre de la courbe , on en aura une inlinité dumême sommet et sur le même axe , et ce sont celles quidoivent être coupées à angles droits. Il est remarquable , ausurplus , que toutes ces courbes sont semblables dans le sensque toutes les paraboles et hyperboles équilatères le sont ; cequi , par un heureux hasard, facilite la solution du problème yen le réduisant , à certains égards, au cas des courbes sem-blables.

La seconde partie du problème , ou la détermination de latrajectoire même, n’est pas moins élégamment résolue parBernoulli , au moyen des quadratures. Mais il seroit un peutrop long de l’exposer ici ; nous nous bornerons à inviter les-géomètres à la voir dans ses OEuvres (i).

H ne faut pas omettre ici que Nicolas Bernoulli, fils d©‘

(#) Tome II- v pages 290, 291 et suiv,