DES MATTHÉM AIQUES. Part. V. Liv. I. 3 45que y, ainsi l’intégrale de j^dy, qui est z (puisque l’expres-sion ci-dessus résulte de la différentiation) , en ne faisantvarier que y , sera égale à S. P dy, plus à une fonction quine peut contenir que des x, et qui, semblable à la constantequ’on ajoute à toute intégrale pour la rendre complète , nepeut être déterminée que par les conditions du problème.Désignons indéfiniment cette fonction de x par F (a?), on

aura z = S. P dy -i- F (&). Si l’on avoit eu P, on auroittrouvé z = S. P dx + F(j).

Donnons un exemple. Soit l’équation axy ■+■ y 1 , onaura évidemment S. P dy = a dT- -+- y — $ car dans cette ex-pression de P, on n’a que y de variable. Ainsi z sera

h F (a:). Différentions en effet cette équationen ne regardant que y comme variable , on aura ^ dy =

(axy +jy 3 ) dy = P dy, car F (;r) , par la nature de la question ,ne doit donner aucune différentielle, x étant réputée constanteà l’égard de y.

Nous avons supposé dans cet exemple z n’être qu’une fonc-tion de deux variables y et x j mais z pourroit être une fonc-tion de trois variables, et qu’on n’eût qu’une ou deux diffé-rentielles partielles. Alors, et dans le premier cas, la fonctionarbitraire devroit être une fonction des deux autres variables ;ainsi , supposant que z fût une fonction de x, y, u , et que

l’on n’eût qu’une des différentielles partielles de z comme

la méthode d’intégrer seroit la même, on n’inté^reroit qu’àl’égard de x , et la fonction à ajouter seroit une fonction dey et u qu’on désigneroit par F (y,u). Enfin , dans le cas où

l’on auroit eu deux des différentielles partielles, comme ^ 7 ^ ,

des trois qui dévoient former la différentielle complète , il n’yauroit à ajouter qu’une fonction de u, F (u) savoir celle de lavariable dont la différentielle partielle est absente, et ainsi s’il yavoit un plus grand nombre de variables.

Mais passons à des équations aux différentielles partielles pluscomposées , quoique toujours du premier ordre , et z n’étantsupposé fonction que de deux variables* Celle qui suit immé-diatement la précédente en ordre de difficulté est celle-ci :

-+-^ 7 =o. Vient ensuite celle-ci : *57 -t- o. Enfin,

Tome III. y X x