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la plus générale de toutes celles où les quantités ~ ^^ . re

montent qu’au premier degré, est 4 -^- l +Pz + Q = o,

dans laquelle M, N, P, sont des fonctions quelconques dey , x, et de constantes ; ainsi cette dernière expression seraplus ou moins composée , selon le degré de composition deM , N , &c. ; sont exceptés les cas où quelques-unes devien-droient zéro ou des constantes , ce qui simplifie alors l’équation.Mais la nature de cet ouvrage et les bornes que nous noussommes prescrites, ne nous permettant pas d’exposer la maichepar laquelle on s’est élevé à la solution cle différentes équations,noirs renverrons le lecteur à l’ouvrage souvent cité du cit. Cousinqui est entré à cet égard dans tous les détails convenables.

11 n’a été question jusqu’à ce moment que d'équations dupremier ordre aux différentielles partielles; il e.‘t nécessaire dedire au moins un mot de celles des ordres plus élevés.

Toute équation entre une fonction z de deux variablescomme x , y et ses différentielles partielles ^, J , , d £\,

est une équation aux différentielles partielles du second ordre;et d’après cet exemple „ on peut se former une idée de cellesd’un ordre supérieur , comme du troisième , du quatrième oud’un ordre indéfini n , ou comprenant un plus grand nombrede variables , comme x,y,u\ x,y, u,t, &c. Parmi celles

du second ordre et à trois variables, celle-ci : xy — ~;=zo,

sera la première que nous choisirons pour donner une idée duprocédé d'intégration qu’il faut suivre.

Soit donc l’équation xy — ^ — o à intégrer. Pour y par-

• Ai • • du d* +

venir , nous supposerons j x = u , ainsi nous aurons - = ~ ^supposant dx constante , ce qui change l’équation proposée encelle-ci : xy-=.^ x , ou yxdx z=idu. Intégrant donc seulementà l’égard de x (parce que nous n’avons que la différentielle par-tielle de z, en faisant varier.r), nous aurons uc=c ^ -+- F (y').Mettons maintenant, au lieu de u sa valeur^, nous aurons-} x — ~ - 4 - F (jy ) , qui , en multipliant par dx , donnera

dz— y ~. -f. dx F (y). Donc en intégrant à l’égard de xseulement, on aura y == -^1 x F (y) y ).

Telle sera donc l’intégrale de la forme ci-dessus; et en effet.