DÉS MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 3#différentions la avec les attentions convenables, nous trou-verons successivement ( parce que y est supposé constante )

dz don F (_ y ), parce que les fonctions f{y) et F (jy) ne

contenant pas x, demeurent constantes dans les différentiations

relatives à cette variable ; et divisant par dx , on aura ^ —

•ÎAl-t-F (y) ; et en differentiant de nouveau , on trouvera ^

—yxdx. On aura donc enfin, en divisant par dx, — xy=.o.

On voit par-là que l’équation étant du second ordre, pourrendre l’intégrale complété , il faut y ajouter deux fonctionsarbitraires différentes Je la variable, dont la différentielle n’entrepas dans l’équation donnée.

Si l’équation étoit du troisième ordre, comme xy—^ f onemployeroit pour l’intégrer de semblables substitutions succes-sives. Ainsi, en supposant d’abord ^ — u „ ce qui donne~ ~ ; et substituant ^ à la place de ~ , on auroitxy — j- x et du = yxdx ; et en intégrant, u =^~ -+- F ( y) ,c’est-à-dire, -+- F (y ) , ce qui réduit l’équation au

second ordre ; et on la réduira par le même procédé que ci-dessus à celle-ci: ^ -t- x F (y )-(-/’( y ) , et enfin à

z= y ~ -h x 1 F (y) -+■ xf{ y ) -j- <p (y ), ce qui se vérifiera facile-ment par la différentiation , comme on a fait dans l’exempleci-dessus.

Si l’on avoit xy = , il faudrait supposer ^ — u , et

par un procédé semblable aux précédens, on aura u ou ^= -t- F (y ) , et conséquemment dz — —h^yF (y ) ,

et en intégrant de nouveau z = y -yy -+- S dy F (y ) ( x ) ;

d’où résultera enfin (parce que S</yF(j/) n’est autre chosequ’une fonction de y ) Z —^—h F (y ) +y’( x).

Enfin si z étoit une fonction de trpis variables comme x,y, u yet qu’on eut une équation comme xyu —= o à intérêt,on trouverait par des substitutions semblables', z = —I-F {y, u) -hf{v,y) -K<p ( x, u ), où l’on Ÿüit que dans ce cas

X x a