348 HISTOIRE

les trois fonctions arbitraires à ajouter sont autant de fonctionsformées des combinaisons de x, y , u.

On pourra intégrer ainsi des équations d’un plus grand nombrede variables ; sur quoi l’on doit observer qu’il doit toujours yavoir pour compléter l’intégrale autant de fonctions arbitrairesque l’exposant de l’ordre de l’équation contient d’unités , et lorsque les variables de l’équation seront au nombre de trois commez,x,y, les fonctions arbitraires contenues dans l’intégrale serontd’une seule variable ; de deux, si l’équation est entre quatre va-riables comme z , x , y , n , et ainsi de suite.

Le calcul intégral des différentielles partielles peut être pré-senté sous une forme un peu différente de celle qu'on vientde voir; c’est la méthode de trouver une fonction de plusieursvariables , lorsqu’on connoît la relation des coefficiens diffé-rentiels de la différentielle totale. Ce que l’on appelle ici coef-ficient différentiels , ce sont les facteurs qui affectent les diffé-rentielles dx , dy , dt., &c. En supposant z fonction de variablesx,y , t , <$cc., ces coefficiens différentiels , on les désigne alors

P a r p, q , r, &c. ; en sorte que p q — d f y , r = g, &c. ;

et si delà on passe à des ordres supérieurs , on aura p f -=z^fyq r = r f — < 5 cc. Ainsi, suivant cette manière d’en-

visager ce calcul, il s’agit, étant donnée la relation entre p tq , r, &c. , de déterminer la fonction z; ou autrement, étantdonnée' l’équation dz — pdx -+- qdy -t- rdt, &c. ; et étant con-nue la relation entre p , q, r , &c. , ou entre ces coefficiensdifférentiels , et une ou deux des variables x et y , le problèmese réduit à trouver z. Cette manière de s’énoncer ne changeau fond rien à l’état de la question , mais semble avoir l’avantagede la brièveté.

Soit donc l’équation dz — pdx -+- qdy (on se bornera à unefonction z de deux variables), et qu’on suppose la relationentre p et q être celle-ci : q = ap b où a et b sont des quan-tités constantes; on demande la valeur de z , on y parviendraainsi. Dans l’équation ci-dessus mettez , au lieu de q , sa valeurap-v b, on aura dz = pdx -+■ (ap b) dy, c’est- à-dire dz — bdyp (dx -l- ady'). -Mais le premier membre de cette équationest intégrable, et donne z — by, le second doit donc l’être, sila différentielle proposée à une intégrale. Or pour que cela aitlieu, il faut que p. soit une fonction de x -t- ay , d’où il suitque l’intégrale cherchée sera z — by = F (x -t- ay).

On peut ainsi former une multitude de suppositions de rapportsentre z , x , y et p , q , ou de ces. dernières, entre elles et avec le»premières, et il en résulte autant de cas particuliers d’équation»